Краткий курс высшей математики: Часть 2. Учебное пособие. Пономарева Н.В - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Обозначается остаток ряда (27):
∑
∞
+
=
++
=++=
1
21
по
опр
...
n
k
knnn
aaaR .
Пример 19. Доказать сходимость ряда
()
∑
∞
=
+⋅
1
1
1
n
nn
.
Решение: Найдем
nn
aaaaS
+
+
+
+
= ...
321
. Запишем:
()
,
1
11
1
1
+
−=
+
=
nnnn
a
n
{
1
1
1
1
111
1
1
...
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1
132
1
+
−=
+
−+−
−
++−+−+−=
−
nnnnn
S
nn
aaaa
a
n
4342143421321321
.
Найдем
1
1
1
1limlim =
−
−=
∞→∞→
n
S
n
n
n
. Так как
1lim
=
∞→
n
n
S
– существует и конечен,
то данный ряд сходится и его сумма
S = 1.
Пример 20. Исследовать на сходимость ряд
+
∑
∞
=
n
n
1
1ln
1
.
Решение:
()
nn
n
n
n
a
n
ln1ln
1
ln
1
1ln −+=
+
=
+= .
Найдем
=
+
++++=
− nnn
aaaaaS
1321
...
(
)
(
)
(
)
.1lnln1ln1lnln...3ln4ln2ln3ln1ln2ln
+
=−
+
+
−
−
+
+
−+−+−= nnnnn
Найдем
()
⇒
=+=
∞→∞→
1lnlimlim nS
n
n
n
данный ряд расходится.
Пример 21. Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию
.
∑
∞
=
−
⋅
1
1
n
n
qa
66
         Обозначается остаток ряда (27):

                                     по                               ∞
                                 R n = a n +1 + a n + 2 + ... =
                                     опр
                                                                      ∑ ak .
                                                                  k = n +1

                                                                  ∞
                                                                             1
         Пример 19. Доказать сходимость ряда                  ∑ n ⋅ (n + 1) .
                                                              n =1


         Решение: Найдем S n = a1 + a 2 + a 3 + ... + a n . Запишем:

           1     1   1
an =            = −      ,
       n (n + 1) n n + 1

         1 1 1 1 1          1     1 1      1         1
S n = 1 − + − + − + ... +       − + −          =1−       .
      {  2 2
           123 3 3
                 1234     n − 1
                          1 4 2 43n n    n +
                                    1 4 2 43 1     n + 1
        a1          a2      a3               an −1          an


                           1 
Найдем lim S n = lim 1 −       = 1 . Так как lim S n = 1 – существует и конечен,
        n →∞     n →∞    n − 1               n →∞
то данный ряд сходится и его сумма S = 1.

                                                                             ∞
                                                                                    1
         Пример 20. Исследовать на сходимость ряд                         ∑ ln1 + n  .
                                                                          n =1


                             1      n + 1
         Решение: a n = ln1 +  = ln       = ln (n + 1) − ln n .
                             n      n 
Найдем S n = a1 + a 2 + a 3 + ... + a n −1 + a n =

= ln 2 − ln 1 + ln 3 − ln 2 + ln 4 − ln 3 + ... + ln n − ln (n − 1) + ln (n + 1) − ln n = ln (n + 1).

Найдем lim S n = lim ln(n + 1) = ∞ ⇒ данный ряд расходится.
             n →∞        n →∞


         Пример 21. Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию
 ∞
∑ a ⋅ q n−1 .
n =1




                                                                                                  66

Страницы