Краткий курс высшей математики: Часть 2. Учебное пособие. Пономарева Н.В - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 23 (Признак сравнения I). Даны два ряда и
∑
∞
=1
n
n
a
∑
∞
=1n
n
b
с
неотрицательными членами. Если, начиная с некоторого номера
n для всех
членов ряда, выполняется неравенство
nn
ba
≤
, то:
а) если
– сходится, то – сходится;
∑
∞
=1
n
n
b
∑
∞
=1
n
n
a
б) если
– расходится, то
∑
∞
=1
n
n
a
∑
∞
=1n
n
b
– расходится.
Пример 24. Исследовать сходимость ряда
∑∑
∞
=
∞
=
=
⋅
11
3
1
n
n
n
n
a
n
.
Решение: Рассмотрим ряд
∑∑
∞
=
∞
=
=
11
3
1
n
n
n
n
b
. Этот ряд является
геометрической прогрессией со знаменателем
3
1
=
q . Этот ряд сходится.
Сравним два ряда
n
nn
n
b
n
a =<
⋅
=
3
1
3
1
. Ряд с большими членами сходится,
значит, данный ряд, как ряд с меньшими членами, тоже сходится.
Пример 25. Исследовать на сходимость ряд
(
)
()()
∑∑
∞
=
∞
=
=
++
⋅+
11
2
51
sin4
nn
n
a
nnn
nn
.
Решение: Составим цепочку неравенств
()
()()
()()()()()
.
1
1
51
5
51
4
51
sin4
2
nn
b
nnnnn
n
nnn
n
nnn
nn
a =
+
=
++
+
<
++
+
≤
++
⋅+
=
Ряд
()
∑∑
∞
=
∞
=
+
=
11
1
1
nn
n
nn
b
сходится. Он исследован нами в примере 18, а т.к.
()
()()
()
nn
b
nnnnn
nn
a =
+
<
++
+
=
1
1
51
sin4
2
, то данный ряд сходится, как ряд с меньшими
членами.
Пример 26. Исследовать на сходимость ряд
∑
∞
=
∞
=
+
=
⋅
11
1
2
3
n
n
n
n
n
a
n
∑
.
Решение: Рассмотрим неравенства
n
nn
n
n
n
b
nn
a =
>
⋅=
⋅
=
+
2
3
2
3
2
2
3
1
.
68
                                                                                                      ∞              ∞
             Теорема 23 (Признак сравнения I). Даны два ряда                                        ∑ an        и   ∑ bn   с
                                                                                                    n =1            n =1
неотрицательными членами. Если, начиная с некоторого номера n для всех
членов ряда, выполняется неравенство a n ≤ bn , то:
             ∞                           ∞
а) если      ∑ bn       – сходится, то   ∑ an       – сходится;
             n =1                        n =1
              ∞                                 ∞
б) если      ∑ an – расходится, то              ∑ bn   – расходится.
             n =1                            n =1

                                                                           ∞                    ∞
                                                                                      1
             Пример 24. Исследовать сходимость ряда                       ∑               n
                                                                                              = ∑ an .
                                                                          n =1 n ⋅ 3           n =1
                                                           ∞             ∞
                                                               1
             Решение:          Рассмотрим           ряд   ∑        n
                                                                       = ∑ bn .           Этот            ряд       является
                                                          n =1 3        n =1
                                                     1
геометрической прогрессией со знаменателем q = . Этот ряд сходится.
                                                     3
                            1    1
Сравним два ряда a n =         <   = bn . Ряд с большими членами сходится,
                         n ⋅ 3n 3n
значит, данный ряд, как ряд с меньшими членами, тоже сходится.
                                                                                 ∞
                                                                                    (n + 4 ) ⋅ sin 2 n = ∞ a .
             Пример 25. Исследовать на сходимость ряд                          ∑                        ∑ n
                                                                               n =1 n(n + 1)(n + 5 ) n =1


             Решение: Составим цепочку неравенств


an =
     (n + 4 ) ⋅ sin 2 n
                        ≤
                          n+4
                                    <
                                         n+5
                                                    =
                                                        1
                                                              = bn .
     n(n + 1)(n + 5) n(n + 1)(n + 5) n(n + 1)(n + 5) n(n + 1)

      ∞             ∞
                           1
Ряд   ∑ bn = ∑ n(n + 1) сходится. Он исследован нами в примере 18, а т.к.
      n =1          n =1

an =
     (n + 4 ) sin 2 n
                      <
                        1
                              = bn , то данный ряд сходится, как ряд с меньшими
     n(n + 1)(n + 5) n(n + 1)
членами.
                                                                                 ∞                  ∞
                                                                                      n ⋅ 3n
             Пример 26. Исследовать на сходимость ряд                          ∑ 2 n+1 = ∑ a n .
                                                                               n =1              n =1
                                                                               n                 n              n
                                                                        n⋅3           n 3    3
             Решение: Рассмотрим неравенства a n =                                   = ⋅   >   = bn .
                                                                        2 n +1        2 2    2


                                                                                                                           68

Страницы