Краткий курс высшей математики: Часть 2. Учебное пособие. Пономарева Н.В - 69 стр.

       ∞        ∞          n
                 3
Ряд ∑ bn = ∑          расходится как геометрическая прогрессия со
      n =1  n =1  
                  2
                                           ∞
                  3                           n ⋅ 3n
знаменателем q = > 1 . Значит, данный ряд ∑ n +1 тоже расходится, как ряд
                  2                       n =1 2
с большими членами.
                                                                                                  ∞             ∞
        Теорема 24 (Признак сравнения II). Даны два ряда                                         ∑ an       и   ∑ bn   с
                                                                                                 n =1           n =1
                                                                                                   an
неотрицательными членами. Если существует конечный lim                                                ≠ 0 , то оба
                                                                                              n →∞ bn
ряда сходятся или расходятся одновременно.
                                                                              ∞                  ∞
                                                                                          1
        Пример 27. Исследовать на сходимость ряд                             ∑        n
                                                                                          −n
                                                                                               = ∑ an .
                                                                             n =1 3              n =1
                                                  ∞                 ∞
                                                         1
        Решение: Рассмотрим ряд                   ∑ 3 n = ∑ bn , который сходится (рассмотрен
                                                  n =1              n =1
в примере 23). Сравнение рядов по признаку сравнения I ничего не дает, т.к.
   1       1
       >      .
3n − n 3n
                             1                             
                an         3n − n        3n            1 
Найдем lim         = lim 1 = lim n           = lim            =1 ≠ 0.
         n → ∞ bn    n→∞          n → ∞ 3 − n n → ∞
                                                    1 −  n 
                                                            
                            3n                          3n 
                        ∞
                             1
Так как прогрессия ∑ n сходится, то и данный ряд сходится.
                       n =1 3

                                                         ∞
                                                                1
        Пример 28. Рассмотрим ряд                        ∑ n , который называется гармоническим
                                                         n =1
и играет важную роль в теории рядов.
                                                                                  ∞
                                                                                        1 ∞
        В примере 19 установлена расходимость ряда                               ∑ 1 + n  = ∑bn . Найдем
                                                                                     ln
                                                                                 n=1            n=1

     b          (
              ln 1 +   1   )                     1                      1
                                                                             n
                                                                                                     1
                                                                                                        n
lim n = lim       1
                       n
                               = lim n ⋅ ln1 +      = lim ln1 +           = ln lim 1 +             = ln e =1≠ 0.
n →∞ a n n →∞
                  n
                                n →∞             n  n →∞                n      n →∞              n

Следовательно, ряды ведут себя одинаково, т.е. оба расходятся. Гармонический
     ∞
         1   1 1        1
ряд ∑ = 1 + + + ... + + ... расходится.
    n =1 n   2 3        n



                                                                                                                       69