Краткий курс высшей математики: Часть 2. Учебное пособие. Пономарева Н.В - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Пример 32. Рассмотрим ряд
()
∑
∞
=
+
1
1
1
n
nn
, который сходится, как было
показано в примере 18. Для него
(
)
()( )
1
2
lim
21
11
limlim
1
=
+
=
++
+⋅⋅
=
∞→∞→
+
∞→
n
n
nn
nn
a
a
nn
n
n
n
.
Заметим, если
1lim
1
==
+
∞→
n
n
n
a
a
l
, то признак ответа о сходимости и этого ряда не дает.
Теорема 26 (Радикальный признак Коши). Если в ряде
∑
∞
=1n
n
a
с
неотрицательными членами существует
la
n
n
n
=
∞→
lim
, то:
1) при l
< 1 данный ряд сходится;
2) при l
> 1 данный ряд расходится.
Пример 33. Исследовать на сходимость ряд
.
23
1
1
3
∑
∞
=
+
+
n
n
n
n
Решение: Здесь
n
n
n
n
3
23
1
+
+
=
a
. Найдем
1
27
1
23
1
lim
23
1
lim
23
1
limlim
333
<=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
∞→∞→∞→
n
n
n
n
n
n
a
n
n
n
n
n
n
n
.
Следовательно, данный ряд сходится.
4.2.2 Интегральный признак Коши
Напомним, что интеграл вида
∫
∞
a
dxxf )( называется несобственным
интегралом и вычисляется по правилу
∫∫
∞
∞→
=
b
a
b
dxxfdx )(lim(,
a
xf ) если f(x)
определена для a
x
≥∀ и интегрируема на любом отрезке [a, b].
71
                                                          ∞
                                                                     1
           Пример 32. Рассмотрим ряд                   ∑ n(n + 1) ,           который сходится, как было
                                                       n =1
                                                      a n +1         1 ⋅ n ⋅ (n + 1)       n
показано в примере 18. Для него lim                          = lim                   = lim     = 1.
                                                  n →∞ a n     n →∞ (n + 1)(n + 2 ) n →∞ n + 2

                               a n +1
Заметим, если l = lim                 = 1 , то признак ответа о сходимости и этого ряда не дает.
                           n →∞ a n
                                                                                                            ∞
           Теорема 26 (Радикальный признак Коши). Если в ряде                                              ∑ an с
                                                                                                           n =1
неотрицательными членами существует lim a n = l , то:                n
                                                              n →∞
1) при l < 1 данный ряд сходится;
2) при l > 1 данный ряд расходится.
                                                                               ∞              3n
                                                         n +1 
           Пример 33. Исследовать на сходимость ряд ∑            .
                                                    n =1 3n + 2 
                                                     3n
                                 n +1 
           Решение: Здесь a n =          . Найдем
                                 3n + 2 
                                       3n                       3                     3
                           n +1                    n +1            n +1     1
lim   n   a n = lim   n                   = lim            =  lim         =    < 1.
n→∞            n→∞         3n + 2           n → ∞  3n + 2         3n + 2    27

Следовательно, данный ряд сходится.


          4.2.2 Интегральный признак Коши


                                                               ∞
           Напомним, что интеграл вида                         ∫ f ( x ) dx    называется несобственным
                                                               a
                                                                    ∞                     b
интегралом и вычисляется по правилу                                 ∫ f ( x ) dx = blim
                                                                                     →∞
                                                                                        ∫ f ( x ) dx ,   если f(x)
                                                                    a                     a
определена для ∀x ≥ a и интегрируема на любом отрезке [a, b].




                                                                                                                  71

Страницы