Краткий курс высшей математики: Часть 2. Учебное пособие. Пономарева Н.В - 73 стр.

      Замечание – Если задан ряд и a n = f (n ) формула его общего члена, то
функцию f(x) удается построить с помощью замены натурального n в
выражение f(n) на непрерывно изменяющийся аргумент х.
                       ∞
                            n +1                 x +1
      Если взять ряд ∑ 2          , то f ( x ) = 2     .
                      n =1 n + 3n               x + 3x
                                  ∞
                                        1
        Пример 35. Ряд вида       ∑      α
                                           , где α > 0, α ≠ 1 называется обобщенным
                                  n =1 n
гармоническим рядом. Исследуем его сходимость. Составим функцию
                       ∞              ∞
           1                             dx
 f ( x ) = α и найдем ∫ f ( x ) dx = ∫ α , который был исследован на сходимость
          x            1               1 x
в примере 16.
                                                      ∞
                                                           1
Вывод: Обобщенный гармонический ряд ∑ α сходится при α > 1 и
                                                     n =1 n
расходится при α ≤ 1 .
                             ∞                                                           ∞
                                  1                                                          1
        Пример 36. Ряд    ∑3      5       3
                                              можно представить в виде               ∑        14
                                                                                                   . Так как
                          n =1   n⋅ n                                                n =1 n 15

     14
α=      < 1, то ряд расходится.
     15
                                                                      ∞                            ∞
                                                                              n +1
        Пример 37. Исследовать на сходимость ряд                      ∑     5    2
                                                                                             = ∑ an .
                                                                      n =1 n + 3n + n            n =1
                                              ∞              ∞
                                                   1
        Решение:    Составим      ряд         ∑        4
                                                           = ∑ bn ,       который    сходится,          как
                                              n =1 n        n =1
обобщенный гармонический ряд с α = 4 > 1 . Воспользуемся признаком
сравнения II       и найдем
      an             n +1        4          n5 + n4             1 + n1
 lim     = lim 5              ⋅ n = lim 5              = lim             = 1.
n → ∞ bn   n → ∞ n + 3n 2 + n       n → ∞ n + 3n 2 + n   n→∞ 1 + 3 + 1
                                                                  3    4
                                                                              n      n
                         ∞            ∞
Следовательно, ряды     ∑ an и        ∑ bn      ведут себя одинаково. Это значит, что
                        n =1          n =1
данный ряд сходится.


      4.2.3 Эталонные ряды для сравнения




                                                                                                         73