Краткий курс высшей математики: Часть 2. Учебное пособие. Пономарева Н.В - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

1. – геометрическая прогрессия. Ряд сходится, если 0 < q < 1;
ряд расходится, если .
∑
∞
=
−
1
1
n
n
aq
1≥q
2.
∑
∞
=
1
1
n
n
α
– обобщённый гармонический ряд. Ряд сходится, если
α
> 1;
ряд расходится, если 10 ≤<
α
.
4.3 Знакопеременные ряды
Определение: Ряд
∑
∞
=1n
n
a
, среди членов которого есть как
положительные, так и отрицательные, называется знакопеременным.
Например,
∑
∞
=
+
1
1
sin
n
n
n
– знакопеременный ряд. Среди знакопеременных
рядов особо выделяют знакочередующиеся ряды.
Определение: Ряд
() ()
n
n
n
n
n
aaаааа
∑
∞
=
−−
−=+⋅−++−+−
1
11
4321
1...1... ,
где все a
n
– числа одного знака, называется знакочередующимся.
Сходимость знакочередующегося ряда исследуется с помощью
признака Лейбница.
Теорема 28 (Признак Лейбница). Дан знакочередующийся ряд
(
)
...1...
1
321
+⋅−+−+−
−
n
n
aааа , где 0>
∀
n
an .
Если {a
n
} монотонно убывает, т.е. и
, то
знакочередующийся ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит
первого члена ряда.
......
321
>>>>>
n
aааа
0lim =
∞→
n
n
a
Пример 38. Рассмотрим ряд
() ()
...
1
1..
4
1
3
1
2
1
1
1
1
1
1
1
+⋅−++−+−=−
−
∞
=
−
∑
nn
n
n
n
Члены ряда убывают:
...
1
...
4
1
3
1
2
1
>>>>>>
n
1 и
0
1
limlim ==
∞→∞→
n
a
n
n
n
.
По признаку Лейбница данный ряд сходится.
74
             ∞
        1.   ∑ aq n−1      – геометрическая прогрессия. Ряд сходится, если 0 < q < 1;
             n =1
ряд расходится, если q ≥ 1.
              ∞
                    1
        2.   ∑   α
                   – обобщённый гармонический ряд. Ряд сходится, если α > 1;
          n =1 n
ряд расходится, если 0 < α ≤ 1 .


      4.3 Знакопеременные ряды


                                           ∞
        Определение:             Ряд      ∑ an ,        среди     членов         которого        есть   как
                                          n =1
положительные, так и отрицательные, называется знакопеременным.
                   ∞
                       sin n
       Например, ∑           – знакопеременный ряд. Среди знакопеременных
                  n =1 n + 1
рядов особо выделяют знакочередующиеся ряды.

        Определение: Ряд
                                                                              ∞
                        а1 − а 2 + а 3 − а 4 + ... + (− 1)n −1 ⋅ a n + ... = ∑ (− 1)n −1 a n ,
                                                                             n =1

где все an – числа одного знака, называется знакочередующимся.

       Сходимость знакочередующегося                          ряда       исследуется       с     помощью
признака Лейбница.

        Теорема 28 (Признак Лейбница). Дан знакочередующийся ряд

                    а1 − а 2 + а 3 − ... + (− 1)n −1 ⋅ a n + ... , где      ∀n a n > 0 .

Если {an} монотонно убывает, т.е. а1 > а 2 > а 3 > ... > a n > ... и lim a n = 0 ,                      то
                                                                                    n →∞

знакочередующийся ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит
первого члена ряда.
                                                  ∞
        Пример 38. Рассмотрим ряд                ∑ (− 1)n−1 n1 = 1 − 12 + 13 − 14 + .. + (− 1)n−1⋅ n1 + ...
                                                 n =1
                        1 1 1         1                                                   1
Члены ряда убывают:              1>
                          > > > ... > > ...                          и    lim a n = lim     = 0.
                        2 3 4         n                                   n →∞       n →∞ n
По признаку Лейбница данный ряд сходится.
                                                                                                         74

Страницы