Краткий курс высшей математики: Часть 2. Учебное пособие. Пономарева Н.В - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

4.3.1 Оценка остатка знакочередующегося ряда
Рассмотрим остаток знакочередующего ряда
()
n
n
n
a
∑
∞
=
−
−
1
1
1, который
является также знакочередующимся рядом, т.е.
(
)
(
)
...1...
1
21
+⋅−+−−±=
+
−
++ pn
p
nnn
aaaR .
Так как абсолютная величина суммы знакочередующегося ряда не
превосходит его первого члена, то
1+
≤
nn
aR .
Отсюда следует, что при приближенном подсчете суммы сходящегося
знакочередующегося ряда, заменяя сумму ряда суммой первых n его членов, мы
допускаем ошибку, модуль которой не превышает абсолютной величины
первого из отброшенных членов.
Пример 39. Вычислить приближенно сумму ряда
(
)
∑
∞
=
−
−
1
3
1
1
n
n
n
,
ограничившись девятью членами.
Решение: Очевидно, что этот ряд сходится (по признаку Лейбница) и его
сумма S. Возьмем приближенно
902,0
729
1
512
1
343
1
216
1
125
1
64
1
27
1
8
1
1
9
=+−+−+−+−=≈ SS .
Погрешность при такой замене
001,0
10
1
3
9
=≤R
.
4.3.2 Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
Теорема 29 (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда).
Если
∑
∞
=
1n
n
a – сходится, то сходится и знакопеременный ряд .
∑
∞
=
1n
n
a
Определение: Знакопеременный ряд
∑
∞
=1n
n
a называется абсолютно
сходящимся, если сходится ряд
∑
∞
=1n
n
a , составленный из абсолютных величин
его членов.
75
       4.3.1 Оценка остатка знакочередующегося ряда

                                                                             ∞
         Рассмотрим остаток знакочередующего ряда                           ∑ (− 1)n−1a n ,       который
                                                                            n =1
является также знакочередующимся рядом, т.е.

                              (
                     R n = ± a n +1 − a n + 2 − ... + (− 1) p −1 ⋅ a n + p + ... . )
       Так как абсолютная величина суммы знакочередующегося ряда не
превосходит его первого члена, то Rn ≤ a n +1 .
       Отсюда следует, что при приближенном подсчете суммы сходящегося
знакочередующегося ряда, заменяя сумму ряда суммой первых n его членов, мы
допускаем ошибку, модуль которой не превышает абсолютной величины
первого из отброшенных членов.
                                                                                              ∞
                                                                                                     (− 1)n−1 ,
         Пример     39.    Вычислить            приближенно            сумму           ряда   ∑
                                                                                              n =1     n3
ограничившись девятью членами.

       Решение: Очевидно, что этот ряд сходится (по признаку Лейбница) и его
сумма S. Возьмем приближенно
               1 1   1   1   1   1   1   1
S ≈ S9 = 1 −    +  −   +   −   +   −   +   = 0,902 .
               8 27 64 125 216 343 512 729
                                                 1
Погрешность при такой замене R9 ≤                      = 0,001 .
                                                10 3


       4.3.2 Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов


         Теорема 29 (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда).
       ∞                                                                           ∞
Если   ∑ an    – сходится, то сходится и знакопеременный ряд                       ∑ an .
       n =1                                                                        n =1
                                                                   ∞
         Определение: Знакопеременный ряд                       ∑ an      называется абсолютно
                                                                n =1
                                          ∞
сходящимся, если сходится ряд            ∑ an        , составленный из абсолютных величин
                                         n =1
его членов.

                                                                                                            75

Страницы