Краткий курс высшей математики: Часть 2. Учебное пособие. Пономарева Н.В - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Определение: Несобственный интеграл dxxf
a
∫
∞
)( называется
сходящимся, если существует
и он конечен, в противном случае
называется расходящимся.
dxxf
b
a
b
∫
∞→
)(lim
dxxf
a
∫
∞
)(
Пример 34. Найти
∫
∞
1
α
x
dx
, где 1,0
≠
>
α
α
.
Решение: По определению
=
+−
===
+−
∞→
−
∞→∞→
∞
∫∫∫
b
b
b
b
b
b
x
dxx
x
dx
x
dx
1
1
111
1
limlimlim
α
α
α
αα
1
<<∞
>
−
−
=
−
−
−
=
−
∞→
.1 если ,
если ,
1
1
1
1
1
lim
1
α
α
α
αα
α
а
b
b
Вывод: Несобственный интеграл
∫
∞
1
α
x
dx
сходится, если 1>
α
и расходится, если 0 <
α
≤ 1.
Если
α
= 1, то ∞===
∞
∞→
∞
∞→
∫∫
1
11
lnlimlim x
x
dx
x
dx
b
b
b
, т.е. несобственный интеграл
∫
∞
1
x
dx
расходится.
Теорема 27 (Интегральный признак Коши). Если для ряда
∑
∞
=1n
n
a
с
общим членом
существует функция f(x) такая, что
()
nfa
n
=
1) (а – любое действительное число);
()()
0, >+∞∈∀ xfax
2) f(x) убывает и непрерывна на (а;
+ ∞), то ряд
∑
∞
=1n
n
a
и несобственный
интеграл
сходится или расходится одновременно.
∫
∞
a
dxxf )(
72
                                                                                     ∞
           Определение:              Несобственный                 интеграл          ∫ f ( x ) dx   называется
                                                                                     a
                                                        b
сходящимся, если существует lim
                                               b→ ∞
                                                        ∫ f ( x ) dx       и он конечен, в противном случае
                                                        a
∞

∫ f ( x ) dx называется расходящимся.
a
                                       ∞
                                           dx
           Пример 34. Найти            ∫ xα        , где α > 0, α ≠ 1 .
                                       1

           Решение: По определению

∞                                                                      b
                                               x −α +1
                  b              b
    dx                dx            −α
∫ xα     = lim
           b→ ∞
                  ∫ xα     = lim ∫ x dx = lim
                             b→ ∞         b→ ∞ − α + 1
                                                         =
1                 1               1                    1



                 b1−α                  1
                           1  −           , если α > 1
         = lim       −         =  1−α
           b→∞ 1 − α
                        1 − α  
                                    ∞ , если а < α < 1.
                                               ∞
                                                   dx
Вывод: Несобственный интеграл                  ∫ xα     сходится, если α > 1 и расходится, если 0 < α ≤ 1.
                                               1
                            ∞             ∞b
                 dx          dx
Если α = 1, то ∫    = lim ∫     = lim ln x = ∞ , т.е. несобственный интеграл
               1
                  x   b→ ∞
                           1
                              x   b→ ∞    1
∞
  dx
∫  x
     расходится.
1
                                                                                                        ∞
           Теорема 27 (Интегральный признак Коши). Если для ряда                                       ∑ an с
                                                                                                       n =1
общим членом a n = f (n ) существует функция f(x) такая, что

1) ∀x ∈ (a ,+∞ ) f ( x ) > 0 (а – любое действительное число);
                                                                                     ∞
2) f(x) убывает и непрерывна на (а; + ∞), то ряд                                    ∑ an    и несобственный
                                                                                    n =1
                      ∞
    интеграл          ∫ f ( x ) dx сходится        или расходится одновременно.
                      a




                                                                                                              72

Страницы