Краткий курс высшей математики: Часть 2. Учебное пособие. Пономарева Н.В - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 25 (Признак Даламбера). Пусть дан ряд с
неотрицательными членами. Если существует
∑
∞
=1n
n
a
l
a
a
n
n
n
=
+
∞→
1
lim
, то:
1) при l
< 1 данный ряд сходится;
2) при l
> 1 ряд расходится.
Пример 29. Исследовать на сходимость ряд
(
)
∑
∞
=
+
1
2
5
1
n
n
n
.
Решение: Здесь
()
(
)
1
2
1
2
5
2
,
5
1
+
+
+
=
+
=
n
n
n
n
n
a
n
a . Найдем
()
()
()
()
=
+
+
=
+
+
=
+
⋅+
=
∞→
+
∞→
+
∞→
2
2
2
2
1
2
1
1
2
lim
5
1
1
2
lim
5
1
15
52
limlim
n
n
n
n
n
n
a
a
n
n
n
n
n
n
n
.1
5
1
1
5
1
1
2
lim
5
1
2
<=⋅=
+
+
=
n
n
Следовательно, данный ряд сходится.
Пример 30. Исследовать на сходимость ряд
∑
∞
=
1
!
n
n
n
n
.
Решение: Здесь
(
)
()
!1
1
,
!
1
1
+
+
==
+
+
n
n
a
n
n
a
n
n
n
n
. Найдем
()
()
()
.1
1
1lim
1
lim
1
lim
!1
!1
limlim
1
1
>=
+=
+
=
+
=
⋅+
⋅+
=
∞→∞→∞→
+
∞→
+
∞→
e
nn
n
n
n
nn
nn
a
a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Следовательно, данный ряд расходится.
Пример 31. Исследовать на сходимость ряд
∑
∞
=1
1
n
n
.
Решение: Это гармонический ряд и мы показали в примере 27, что он
расходится. Найдем для него
.
1
1
limlimlim
1
1
1
1
=
+
==
∞→
+
∞→
+
∞→
n
n
a
a
n
n
n
n
n
n
n
Следовательно,
к исследованию этого ряда на сходимость, признак не применим.
70
                                                                                                    ∞
        Теорема      25    (Признак       Даламбера).          Пусть            дан       ряд       ∑ an   с
                                                                                                    n =1
                                                               a n +1
неотрицательными членами. Если существует lim                         = l , то:
                                                           n →∞ a n
1) при l < 1 данный ряд сходится;
2) при l > 1 ряд расходится.
                                                                     ∞
                                                                           (n + 1)2
        Пример 29. Исследовать на сходимость ряд                    ∑          5n
                                                                                      .
                                                                    n =1

        Решение: Здесь a n      =
                                  (n + 1)2
                                           ,   a n +1 =
                                                          (n + 2)   2
                                                                      . Найдем
                                     5n                    5 n +1

    a n +1         (n + 2 )2 ⋅ 5 n 1       (n + 2 )2 1  n + 2                2
lim        = lim                   = lim            = lim      =
n→∞ a n      n → ∞ 5 n +1 (n + 1)2  5 n →∞ (n + 1)2 5     n +1

                 2
 1     n + 2 1      1
=  lim       = ⋅ 1 = < 1.
 5     n +1 5       5

Следовательно, данный ряд сходится.
                                                                     ∞
                                                     nn
        Пример 30. Исследовать на сходимость ряд ∑ .
                                                 n =1 n !


        Решение: Здесь a n =
                                  nn
                                     , a n +1 =
                                                (n + 1)n+1 . Найдем
                                  n!             (n + 1)!
    a n +1        (n + 1)n +1⋅ n !        (n + 1)n         n + 1       
                                                                           n
                                                                                           1
                                                                                                n
lim        = lim                   = lim           = lim         = lim 1 +                = e > 1.
n →∞ a n     n →∞ (n + 1)! ⋅ n n     n →∞    n n     n →∞  n       n →∞                 n

Следовательно, данный ряд расходится.
                                                                     ∞
                                                                           1
        Пример 31. Исследовать на сходимость ряд                    ∑n.
                                                                    n =1
       Решение: Это гармонический ряд и мы показали в примере 27, что он
                                               1
                                 a n +1       n +1       n
расходится. Найдем для него lim         = lim 1 = lim        = 1 . Следовательно,
                            n → ∞ an      n→∞      n→∞ n + 1
                                               n
к исследованию этого ряда на сходимость, признак не применим.




                                                                                                           70

Страницы