Краткий курс высшей математики: Часть 2. Учебное пособие. Пономарева Н.В - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Из школьного курса известно, что сумму имеет бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия, то есть прогрессия, у которой
1<q . Отсюда
следует, что ряд
сходится при
∑
∞
=
−
⋅
1
1
n
n
qa
1
<
q .
Пример 22.
Ряд
...
5
2
...
5
2
5
2
5
2
5
2
32
1
+++++=
∑
∞
=
n
n
n
сходится, т.к. 1
5
1
<=q .
4.2 Необходимый признак сходимости ряда
Важнейшей задачей теории числовых рядов является разработка
методов вычисления их сумм. Точное вычисление суммы не всегда возможно,
а если возможно, то связано с объемными вычислениями. Если же заранее
известно, что ряд расходится, то его сумму находить не стоит. Если заранее
известно, что исследуемый ряд сходится, то его сумму можно найти с любой
степенью точности.
Установлены признаки, с помощью которых можно решить вопрос о
сходимости ряда.
Теорема 21 (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд
∑
∞
=1n
n
a
сходится, то предел его общего члена равен нулю, т.е. .
0lim =
∞→
n
n
a
Этот признак является только необходимым, поэтому из того, что
еще не следует, что ряд сходится. Но если , то этот ряд
расходится, т.к. если бы он сходился, то
0lim =
∞→
n
n
a 0lim =
/
∞→
n
n
a
0lim
=
∞→
n
n
a
.
Пример 23. Рассмотрим ряд
∑
∞
=
+
1
2
2
4
n
n
n
.
Его общий член
4
2
2
+
=
n
n
a
n
и
01
4
limlim
2
2
≠=
+
=
∞→∞→
n
n
а
n
n
n
. Значит, данный
ряд расходится.
Теорема 22 (необходимый и достаточный признак сходимости ряда).
Ряд (28) сходится тогда и только тогда, когда сходится любой его остаток.
4.2.1 Достаточные признаки сходимости рядов с положительными
членами
67
       Из школьного курса известно, что сумму имеет бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия, то есть прогрессия, у которой q < 1 . Отсюда
                      ∞
следует, что ряд      ∑ a ⋅ q n−1   сходится при q < 1 .
                      n =1

        Пример 22.
              ∞
                  2   2 2    2          2                          1
        Ряд   ∑     n
                      =+   +   + ... +    + ... сходится, т.к. q =   < 1.
             n =1 5   5 5 2 53         5n                          5
       4.2 Необходимый признак сходимости ряда


       Важнейшей задачей теории числовых рядов является разработка
методов вычисления их сумм. Точное вычисление суммы не всегда возможно,
а если возможно, то связано с объемными вычислениями. Если же заранее
известно, что ряд расходится, то его сумму находить не стоит. Если заранее
известно, что исследуемый ряд сходится, то его сумму можно найти с любой
степенью точности.
       Установлены признаки, с помощью которых можно решить вопрос о
сходимости ряда.
                                                                                           ∞
        Теорема 21 (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд                        ∑ an
                                                                                          n =1
сходится, то предел его общего члена равен нулю, т.е. lim a n = 0 .
                                                                     n →∞
        Этот признак является только необходимым, поэтому из того, что
lim a n = 0 еще не следует, что ряд сходится. Но если lim a n =/ 0 , то этот ряд
n →∞                                                                    n →∞
расходится, т.к. если бы он сходился, то lim a n = 0 .
                                                 n →∞

                                             ∞
                                                  n2
        Пример 23. Рассмотрим ряд           ∑     2
                                                          .
                                            n =1 n + 4
                               n2                               n2
Его общий член a n =                   и lim а n = lim                  = 1 ≠ 0 . Значит, данный
                             n2 + 4       n →∞          n →∞   n2 + 4
ряд расходится.

       Теорема 22 (необходимый и достаточный признак сходимости ряда).
Ряд (28) сходится тогда и только тогда, когда сходится любой его остаток.


     4.2.1 Достаточные признаки сходимости рядов с положительными
членами


                                                                                                 67

Страницы