Краткий курс высшей математики: Часть 2. Учебное пособие. Пономарева Н.В - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

5 Решение нулевого варианта контрольной работы
Задача. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить
дифференцированием.
а) Найти
()
∫
dx
x
xlnsin
.
Решение: Применим метод замены переменной:
()
()
∫∫
+−=+−==
=
=
= CxCtdtt
x
dx
dt
xt
dx
x
x
lncoscossin
ln
lnsin
.
П р о в е р к а:
Найдем
()()
x
x
Cx
lnsin
lncos =
′
+− .
б) Найти
∫
−
12
5
4 x
dxx
.
Решение: Применяем метод замены переменной:
.
2
arcsin
6
1
2
arcsin
6
1
46
6
6
4
6
2
5
5
6
12
5
C
x
C
t
t
dt
dt
dxx
dtdxx
tx
x
dxх
+=+=
−⋅
=
=
=
=
=
−
∫∫
П р о в е р к а:
12
5
12
5
5
2
6
6
4
2
4
4
2
6
2
1
1
6
1
2
arcsin
6
1
x
x
x
x
х
х
C
x
−
=
⋅
−
=⋅⋅
−
⋅=
′
+ .
в) .
∫
⋅ dxxarctgx
2
Применим метод интегрирования по частям:
88
       5 Решение нулевого варианта контрольной работы


      Задача. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить
дифференцированием.
                 sin (ln x )
      а) Найти ∫             dx .
                      x
         Решение: Применим метод замены переменной:
            t = ln x
 sin(ln x )
∫ x dx = dt = dx = ∫ sin t dt = − cos t + C = − cos (ln x ) + C .
                  x

         П р о в е р к а:
                              sin ln x
Найдем (− cos(ln x ) + C )′ =          .
                                 x

                               x 5 dx
        б) Найти         ∫                12
                                               .
                             4− x
        Решение: Применяем метод замены переменной:

                   x6 = t
    х 5 dx                                               dt           1      t     1       x6
∫               = 6 x 5 dx = dt = ∫                                  = arcsin + C = arcsin
                                                                      6      2     6       2
                                                                                              + C.
    4 − x 12           dt                          6⋅ 4 − t2
                     5
                x dx =
                       6
П р о в е р к а:
                  ′
1       x6       1                           1                  6          x5                  x5
 arcsin    + C  = ⋅                                           ⋅ ⋅ х5 =                   =              .
6       2
                 6                       х        6   
                                                             2    2         4−x   12
                                                                                                4−x   12
                                      1 −                                           ⋅2
                                                                             4
                                            2           


               ∫ x ⋅ arctg x
                               2
        в)                         dx .
        Применим метод интегрирования по частям:




                                                                                                               88

Страницы