Краткий курс высшей математики: Часть 2. Учебное пособие. Пономарева Н.В - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

()
.1ln
4
1
2
1
4
4
1
2
1
2
1
2
22
2
2
1
1
42
2
4
3
2
2
4
3
2
2
4
2
2
2
2
4
2
2
Cxxarctg
x
dx
x
x
xarctg
x
x
dxx
xarctg
x
x
dxx
x
arctgx
x
x
vdvdxx
dxx
x
duxarctgu
dxxarctgx
++−=
+
−=
=
+
−=
+
/
⋅
/
−⋅=
=
=⇒=
⋅
+
=⇒=
=⋅
∫
∫∫
∫
Замечание
(
)
Cxdx
x
x
++=
+
∫
4
4
3
1ln
1
4
, т.к. в числителе
подынтегральной дроби стоит производная знаменателя.
П р о в е р к а.
Найдем
()
23
44
2
242
2
4
1
1
4
1
1
2
2
1ln
4
1
2
xarctgxx
xx
xx
xarctgxCxxarctg
x
=
/
⋅
+
⋅
/
−
+
/
⋅
/
+⋅=
′
++⋅− .
г) Jdx
xxx
x
=
+
−
+
∫
43
2
23
4
.
Решение: Под знаком интеграла стоит неправильная рациональная
дробь. Выделим целую часть и представим подынтегральную функцию в виде
суммы многочлена и правильной рациональной дроби.
2125
1293
243
43
3
43|
2
2
23
23
234
23
4
+−
+−
+−
+−
+
+−
+
xx
xxx
xx
xxx
x
xxx
x
89
                                                                1
                           u = arctg x 2       ⇒ du =               4
                                                                        ⋅ 2 x dx
                                                            1+ x
∫ x ⋅ arctg x
                2
                    dx =                                                            =
                                                        2
                                           x
                           x dx = dv ⇒ v =
                                            2


  x2              x 2 2/ x dx x 2              x 3 dx
=    ⋅ arctgx − ∫
             2
                      ⋅       =   arctg x − ∫
                                         2
                                                      =
  2                2/ 1 + x 4   2             1 + x4


=
  x2
  2
            2 1
     arctg x − ∫
                 4x 3
              4 1 + x4
                       dx =
                            x2
                            2
                               arctg x 2 1
                                        −
                                          4
                                            ln 1 + x 4
                                                       + C.             (       )

        Замечание
                                           4x 3
                                         ∫ 1 + x4           (
                                                    dx = ln 1 + x 4 + C ,   )           т.к.   в   числителе

подынтегральной дроби стоит производная знаменателя.

П р о в е р к а.
Найдем
                               ′
 x2
          2  1          4
                            (
                                    )      2  x 2 2/ x      1 1               3           2
 2 arctg x − 4 ⋅ ln 1+ x +C  = x ⋅ arctg x + 2/ ⋅ 1+ x 4 − 4/ ⋅ 1+ x 4 ⋅ 4/ x = x arctg x .
                            

                      x4 + 2
        г)   ∫ x 3 − 3x 2 + 4 x dx = J .

       Решение: Под знаком интеграла стоит неправильная рациональная
дробь. Выделим целую часть и представим подынтегральную функцию в виде
суммы многочлена и правильной рациональной дроби.


                4                     | x 3 − 3x 2 + 4 x
             x +2
                                             x+3
             x 4 − 3x 3 + 4 x 2
                     3x 3 − 4 x 2 + 2
                     3x 3 − 9 x 2 + 12 x
                                5 x 2 − 12 x + 2




                                                                                                          89

Страницы