Краткий курс высшей математики: Часть 2. Учебное пособие. Пономарева Н.В - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Получим
()
43
2125
3
43
2125
3
43
2
2
2
23
2
23
4
+−⋅
+−
++=
+−
+−
++=
+−
+
xxx
xx
x
xxx
xx
x
xxx
x
.
Разложим
правильную рациональную дробь на сумму простейших дробей
(
)
(
)
(
)
(
)
43
43
4343
2125
2
2
22
2
+−⋅
+⋅++−⋅
=
+−
+
+=
+−⋅
+−
xxx
CBxxxxA
xx
CBx
x
A
xxx
xx
.
Сравнивая дроби, получим
(
)
()
CBxxxxAxx +⋅++−⋅=+− 43212
22
5 .
Подставим в обе части х = 0, получим 2 = 4А, следовательно,
2
1
=А .
Сравним коэффициенты при х
2
, получим 5 = А + В, следовательно, В = 4,5.
Сравним коэффициенты при х, получим –12
= –3А + С, следовательно, С = –10,5.
Получим
()
43
5,105,45,0
43
2125
22
2
+−
−
+=
+−⋅
+−
xx
x
x
xxx
xx
.
Подынтегральная функция примет вид:
43
73
2
3
2
1
3
43
2
223
4
+
−
−
⋅+++=
+−
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.
Последнюю дробь преобразуем так, чтобы в числителе была производная от
знаменателя
()
()
4
7
2
2
3
22
2
3
2
1
4
15
43
32
4
9
43
5,232
2
3
43
73
3
2
+−
⋅−
+−
−
⋅=
+−
−−⋅
⋅=
+−
−
⋅
x
xx
x
xx
x
xx
x
.
Итак, получим
()
4
7
2
2
3
223
4
1
4
15
43
32
4
9
2
1
3
43
2
+−
⋅−
+−
−
⋅+++=
+−
+
x
xx
x
x
x
xxx
x
.
Теперь найдем искомый интеграл:
()
=⋅
+−
⋅−
+−
−
⋅+++=
∫
dx
x
xx
x
x
xJ
4
7
2
2
3
2
1
4
15
43
32
4
9
2
1
3
90
                      x4 + 2                        5 x 2 − 12 x + 2             5 x 2 − 12 x + 2
                                      = x +3+                          = x +3+
Получим
                x 3 − 3x 2 + 4 x                    x 3 − 3x 2 + 4 x               (
                                                                                 x ⋅ x 2 − 3x + 4   ).
Разложим правильную рациональную дробь на сумму простейших дробей

 5 x 2 − 12 x + 2 A
                 = + 2
                      Bx + C
                               =
                                                           (
                                 A ⋅ x 2 − 3x + 4 + x ⋅ (Bx + C )
                                                                  .
                                                                          )
   (
x ⋅ x 2 − 3x + 4      )
                  x x − 3x + 4           x ⋅ x 2 − 3x + 4          (              )
Сравнивая дроби, получим                      5 x 2 − 12 x + 2 = A ⋅ (x 2 − 3x + 4) + x ⋅ (Bx + C ) .

                                                             1
Подставим в обе части х = 0, получим 2 = 4А, следовательно, А =.
                                                             2
Сравним коэффициенты при х2, получим 5 = А + В, следовательно, В = 4,5.
Сравним коэффициенты при х, получим –12 = –3А + С, следовательно, С = –10,5.

                5 x 2 − 12 x + 2              0,5 4,5 x − 10,5
                                          =      + 2
Получим
                  (
                x ⋅ x 2 − 3x + 4      )        x  x − 3x + 4
                                                               .


Подынтегральная функция примет вид:

       x4 + 2                     1 3      3x − 7
                      = x +3+        + ⋅ 2         .
 x 3 − 3x 2 + 4 x                 2 x 2 x − 3x + 4

Последнюю дробь преобразуем так, чтобы в числителе была производная от
знаменателя

              3 2 ⋅ (2 x − 3) − 2,5 9
                 3
2     3x − 7                              2x − 3     15     1
  ⋅ 2        = ⋅                   =  ⋅            −    ⋅           .
3 x − 3x + 4 2     x 2 − 3x + 4      4 x 2 − 3x + 4 4 (x − 3 )2 + 7
                                                           2      4

                               x4 + 2                      1 9      2x − 3  15     1
Итак, получим                                   = x +3+       + ⋅ 2        − ⋅            .
                           3      2
                          x − 3x + 4 x                     2 x 4 x − 3x + 4 4 x − 3 2 + 7
                                                                                  2     4
                                                                                          (         )
Теперь найдем искомый интеграл:

                                           
            1 9      2x − 3   15     1     
J = ∫x + 3+    + ⋅ 2         − ⋅             ⋅ dx =
            2 x 4 x − 3 x + 4 4 x − 3 + 7 
                                        2
                                                           (       )
                                    2    4




                                                                                                         90

Страницы