Краткий курс высшей математики: Часть 2. Учебное пособие. Пономарева Н.В - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

()()
()
(
)
()
()
()()
()()
.
15
55
15
51
1515
13
22
2323
22
22
2
5
2
1
22
2
22
+⋅+
+++++++
=
=
+⋅+
+⋅+++⋅+
=
+
+
+
+
+
=
+⋅+
−
++
tt
DDtCtCtBAtBtAt
tt
tDCttBAt
t
DCt
t
BAt
tt
t
tt
Отсюда
()()
(
)
.5513
232
DBtCAtDBtCAt ++⋅++⋅++⋅+=−
Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях t:
.0,0
51
50
3
0
0
2
3
==⇒
+=−
+=
+=
+=
CA
DB
CA
DB
CA
t
t
t
t
4,1
15
3
=−=⇒
−=+
=+
BD
DB
DB
.
Получим
()()
1
1
5
4
15
13
2222
2
+
−
+
=
+⋅+
−
tttt
t
, тогда
=−=
+
−
+
=
+
−
+
=
∫∫∫
5
0
5
0
5
0
5
0
5
0
2222
55
4
15
4
1
1
5
4
arctgt
t
arctg
t
dt
t
dt
dt
tt
J
.5
5
5
4
5
4
arctgarctg −=−⋅=
π
π
Задача. Вычислить площадь фигуры S, ограниченной линиями:
,
2
2 xxy −= .
x
у −=
Решение: Построим область S.
93
                                                                                    ( At + B ) ⋅ (t 2 + 1) + (Ct + D ) ⋅ (t 2 + 5)
                                           2                       2
                                               +1                      +5
         3t 2 − 1               At + B t                Ct + D t
                            =                       +                           =                                                     =
(t 2 + 5) ⋅ (t 2 + 1)             t2+ 5                      t2+1                                  (t 2 + 5)⋅ (t 2 + 1)
     At 3 + Bt 2 + At + B + Ct 3 + 5Ct + Dt 2 + 5D
=                                                                                   .
                             (t 2 + 5)⋅ (t 2 + 1)
Отсюда 3t 2 − 1 = ( A + C ) ⋅ t 3 + (B + D ) ⋅ t 2 + ( A + 5C ) ⋅ t + B + 5D.
Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях t:

t3       0= A+C
t2       3= B + D
                                   ⇒        A = 0, C = 0.
t     0 = A + 5C
t 0 − 1 = B + 5D

B + D = 3
              ⇒ D = −1, B = 4 .
 B + 5 D = −1

                           3t 2 − 1                     4         1
Получим                                        =             −              , тогда
                      (t 2 + 5) ⋅ (t 2 + 1)         t2 + 5       t2 +1

                                                                                                                     5
          5
                  4          1 
                                            5
                                                 dt
                                                                            5
                                                                                    dt        4             t                     5
J=       ∫               −         dt = 4 ∫          −                 ∫                 =        arctg                 − arctgt 0 =
                  t 2 + 5 t 2 + 1           t 2
                                                  + 5                           t2 +1          5             5
         0                               0                                0                                    0


     4           π                     π
=            ⋅       − arctg 5 =               − arctg 5.
      5 4                               5

        Задача. Вычислить площадь фигуры S, ограниченной линиями:
y = 2 x − x 2 , у = − x.


                  Решение: Построим область S.




                                                                                                                                          93

Страницы