Краткий курс высшей математики: Часть 2. Учебное пособие. Пономарева Н.В - 95 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

dz
дz
дU
dy
ду
дU
dx
дх
дU
dU ⋅+⋅+⋅=
.
Найдем частные производные данной функции:
()
222
2
zух
ех
дх
дU
++−
⋅−= ,
(
)
222
2
zух
еy
ду
дU
++−
⋅−= ,
()
⇒⋅−=
++−
222
2
zух
ez
дz
дU
(
)
(
)
(
)
()
()
.2
222
222
222222222
dzzdyydxxe
dzezdyeydxexdU
zyx
zyxzyxzyx
++⋅⋅−=
=⋅−⋅−⋅−=
++−
++−++−++−
Задача. Исследовать на экстремум функцию .42
32
yxyxz +−=
Решение:
1. Область определения этой функции: R
2
;
2. Находим критические точки, для этого решаем систему
=
=
0
,0
ду
дz
дх
дz
М
⇒
=+−
=−
0122
,022
2
ух
ух
1
(0;0), М
2
6
1
;
6
1
;
3. Находим частные производные второго порядка:
2
2
2
=
дх
zд
, 2
2
−=
дудх
zд
, .24
2
2
у
ду
zд
=
В точке М
1
имеем: 2
2
2
=
дх
zд
, 2
2
−=
дудх
zд
, 0
2
2
=
ду
zд
.
()
()
()
() ()
4
02
22
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
−=
−
−
==∆
ду
Mzд
дудх
Mzд
дудх
Mzд
дх
Mzд
M .
Следовательно, в точке М
1
экстремума нет.
95
                                                      дU        дU        дU
                                            dU =         ⋅ dx +    ⋅ dy +    ⋅ dz .
                                                      дх        ду        дz

Найдем частные производные данной функции:

   = −2 х ⋅ е − (х + у + z ),                     = −2 y ⋅ е −(х + у + z ) ,               = −2 z ⋅ e − (х + у + z ) ⇒
дU                2   2   2                    дU               2   2   2               дU                2   2   2

дх                                             ду                                       дz

dU = −2 x ⋅ e − (x                      ) dx − 2 y ⋅ e − (x 2 + y 2 + z 2 ) dy − 2 z ⋅ e −(x 2 + y 2 + z 2 ) dz =
                        2
                            + y2 + z2




    = −2 ⋅ e − (x                   ) ⋅ (x dx + y dy + z dz ).
                    2
                        + y2 + z2




           Задача. Исследовать на экстремум функцию z = x 2 −2 xy + 4 y 3 .

       Решение:
1. Область определения этой функции: R2;
2. Находим критические точки, для этого решаем систему

    дz
    дх = 0,           2 х − 2 у = 0,                  1 1
     дz                             2
                                          ⇒ М1 (0;0), М2  ;  ;
     =0                − 2 х + 12 у = 0                6 6
     ду

3. Находим частные производные второго порядка:

    д2 z                 д2 z                     д2 z
           = 2,               = −2 ,                     = 24 у.
    дх 2                дх ду                     ду 2

                                  д2 z                  д2 z                  д2 z
В точке М1 имеем:                          = 2,              = −2 ,                  = 0.
                                  дх 2                 дх ду                  ду 2

             д 2 z (M 1 )           д 2 z (M 1 )
             дх 2                     дх ду        2 −2
∆ (M 1 ) = 2                                     =      = − 4.
           д z (M 1 )               д 2 z (M 1 )   −2 0
            дх ду                         ду 2

Следовательно, в точке М1 экстремума нет.


                                                                                                                         95

Страницы