Краткий курс высшей математики: Часть 2. Учебное пособие. Пономарева Н.В - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

В точке М
2
имеем: 2
2
2
=
дх
zд
, 2
2
−=
дудх
zд
, 4
2
2
=
ду
zд
.
()
0448
42
22
2
>=−=
−
−
=∆ M .
Следовательно, в точке М
2
6
1
;
6
1
экстремум есть, причем минимум, т.к.
()
0
2
2
2
>
дх
Mzд
.
Z
min
= Z
6
1
;
6
1
=
108
1
63
1
6
1
6
1
3
2
6
1
4
6
1
6
1
2
36
1
2223
−=
⋅
−=−⋅=⋅+⋅⋅− .
Задача.
а) Решить задачу Коши для уравнения xxyy 2sincos
=
−
′
, у(0) = – 1.
Решение: Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка.
Найдём общее решение этого уравнения. Будем искать решение в виде
, найдем
() ()
xvxuy ⋅= vuvuy
′
⋅
+
⋅
′
=
′
, подставим у и в уравнение: y
′
x
x
vu cos⋅⋅vuvu −
′
⋅+⋅
′
2sin= , следовательно:
[
]
xxvuvu 2sincos =⋅
′
v−
+
′
.
Пусть функция v(x) такова, что ⇒
=
⋅
−
′
0cos xvv
x
vu sin 2
=
′
, т.е. решение
уравнения заменяется системой
=⋅
=⋅−
,2sin)2
,0cos)1
xv
dx
du
xv
dx
dv
каждое из которых является уравнением с разделяющимися переменными.
x
evxvdxx
v
dv
sin
sinlncos =⇒=⇒⋅= .
Подставим найденное значение v во второе уравнение:
96
                         д2 z           д2 z           д2 z
В точке М2 имеем:               = 2,         = −2 ,           = 4.
                         дх 2          дх ду           ду 2

             2 −2
∆ (M 2 ) =        = 8 − 4 = 4 > 0.
             −2 4

                          1 1                                      д2 z(M2 )
Следовательно, в точке М2  ;  экстремум есть, причем минимум, т.к.           > 0.
                          6 6                                        дх2

         1 1 1        1 1     1 2 1     1        1        1
Zmin = Z  ;  =    − 2⋅ ⋅ + 4⋅ 3 = ⋅ 2 − 2 = −        = −     .
          6 6  36     6 6    6   3 6   6      3 ⋅ 62     108

         Задача.

         а) Решить задачу Коши для уравнения y ′ − y cos x = sin 2 x , у(0) = – 1.

          Решение: Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка.
Найдём общее решение этого уравнения. Будем искать решение в виде
y = u ( x ) ⋅ v( x ), найдем y ′ = u ′ ⋅ v + u ⋅ v ′ , подставим у и y ′ в уравнение:
u ′ ⋅ v + u ⋅ v ′ − u ⋅ v ⋅ cos x = sin 2 x , следовательно: u ′v + u [v ′ − v ⋅ cos x ] = sin 2 x .
Пусть функция v(x) такова, что v ′ − v ⋅ cos x = 0 ⇒ u ′v = sin 2 x , т.е. решение
уравнения заменяется системой

     dv
 1)    − v ⋅ cos x = 0,
      dx
 
 2) du ⋅ v = sin 2 x,
    dx

каждое из которых является уравнением с разделяющимися переменными.

dv
   = cos x ⋅ dx ⇒ ln v = sin x ⇒ v = e sin x .
v

Подставим найденное значение v во второе уравнение:




                                                                                                 96

Страницы