Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Действительно, сделаем замену t = ax + b:
()
dt
a
dxdxadxbaxdt
1
=⇒=
′
+= ,
() () () () ()
.
1111
CbaxF
a
CtF
a
dttf
a
dt
a
tfdxbaxf ++=+===+
∫∫∫
Примеры. Найти интегралы:
1.
CeCedxedxe
xxxx
+=+==
++
∫∫
8484
4
1
.
2.
()
C
x
arctgC
x
arctg
x
dx
x
dx
+
−
=+=
+
=
+−
∫∫
2
1
2
1
22
1
241
222
.
3.
()
()
CxtgCxtg
x
dx
x
dx
+−−=+==
−
∫∫
108
10
1
cos108cos
22
.
4.
CxCxdxxdxx +
+−=+−==
+
∫∫
5
3
1
cos3cossin5
3
1
sin .
С л е д с т в и е 3:
Cx
x
dxx
+=
′
∫
)(ln
)(
)(
ϕ
ϕ
ϕ
.
Действительно, сделаем замену )(
x
t
ϕ
=
, dxxdt )(
ϕ
′
=
:
CxCt
t
dt
x
dxx
+=+==
′
∫∫
)(lnln
)(
)(
ϕ
ϕ
ϕ
.
Примеры. Найти интегралы:
1.
∫
+= Cxdx
x
x
sinln
sin
cos
.
2.
Cxxdx
xx
x
++=
+
+
∫
4ln
4
42
2
2
.
3.
Cxxdx
x
x
xx
dx
x
x
xx
++=
+
+
=
+
+
∫∫
2
22
2sinln
2
1
2sin
22cos2
2
1
2sin
2cos
.
10
           Действительно, сделаем замену t = ax + b:
                                1
dt = (ax + b )′ dx = a dx ⇒ dx = dt ,
                                a

                                 1     1             1            1
∫    f (ax + b ) dx = ∫ f (t )     dt = ∫ f (t ) dt = F (t ) + C = F (ax + b ) + C.
                                 a     a             a            a

           Примеры. Найти интегралы:

         4 x +8                                  1 4 x +8
      ∫ e dx =          ∫ e dx = e + C =
                           x      x
1.                                                 e      +C.
                                                 4

            dx                   dx         1      x     1      x −1
2.   ∫ (x − 1) 2 + 4 = ∫ x 2 + 2 2     =
                                            2
                                              arctg + C = arctg
                                                   2     2        2
                                                                     +C.


              dx                  dx                          1
3.   ∫ cos 2 (8 − 10 x ) = ∫ cos 2 x = tg x + C         =−      tg (8 − 10 x ) + C .
                                                             10

        1                                                       1     
4. ∫ sin x + 5  dx =         ∫ sin x dx = − cos x + C = − 3 cos  x + 5 + C .
        3                                                       3     

                                           ϕ ′( x ) dx
           С л е д с т в и е 3:        ∫     ϕ ( x)
                                                       = ln ϕ ( x ) + C .


           Действительно, сделаем замену t = ϕ (x ) , dt = ϕ ′( x ) dx :

 ϕ ′( x ) dx   dt
∫ ϕ ( x ) ∫ t = ln t + C = ln ϕ ( x ) + C .
             =


           Примеры. Найти интегралы:

        cos x
1.    ∫ sin x dx = ln    sin x + C .


        2x + 4
2.    ∫ x 2 + 4 x dx = ln   x 2 + 4x + C .


        cos 2 x + x            1 2 cos 2 x + 2 x      1
3.    ∫ sin 2 x + x 2   dx =    ∫
                               2 sin 2 x + x 2
                                                 dx =
                                                      2
                                                        ln sin 2 x + x 2 + C .

                                                                                       10

Страницы