Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

3)
() ()
==
′
=−=⋅−
∫
xddxxdxxdxxx coscossinsincos
2
C
x
xdx +=⋅=
∫
3
cos
coscos
3
2
.
Рассмотрим еще раз этот интеграл:
=
−=
=
=⋅⋅−
∫
dxxdt
xt
dxxx
sin
cos переменную новую Введём
sincos
2
.
3
cos
3
33
2
C
x
C
t
dtt +=+==
∫
Анализируя оба решения третьего примера, приходим к выводу, что
можно найти последний интеграл, не вводя новой переменной, а подведя часть
подинтегральной функции под знак дифференциала с дальнейшим
использованием свойства инвариантности первообразной функции; поэтому,
если в аналогичных примерах всё же используется метод замены, то он носит
название «Замена переменной подведением под знак дифференциала».
4)
CectgCtctg
t
dt
dtedt
et
e
dxe
x
x
x
x
x
+−=+−==
=
=
=
∫∫
22
sinsin
;
5)
CxCt
t
dt
dx
x
dt
xt
xx
dx
+=+==
=
=
=
∫∫
lnlnln
1
ln
ln
;
6)
=+++=
+
=
=
=
=
+
∫∫
Ctt
t
dt
dxxdt
xt
x
dxx
2
22
1ln
1
cos
sin
sin1
cos
.sin1sinln
2
Cxx +++=
С л е д с т в и е 2: Если
(
)
(
)
∫
+= CxFdxxf , то
R
a
∈
∀ , :
R
b ∈
() ()
CbaxF
a
dxbaxf ++=+
∫
1
.
9
3) − ∫ cos 2 x ⋅ sin x dx = − sin x dx = (cos x )′ dx = d (cos x ) =

                                     cos 3 x
     = ∫ cos 2 x ⋅ d cos x =                 +C.
                                       3

           Рассмотрим еще раз этот интеграл:

                                       Введём новую переменную t = cos x
     − ∫ cos 2 x ⋅ sin x ⋅ dx =                                          =
                                       dt = − sin x dx

               t3     cos 3 x
     = ∫ t dt = + C =
           2
                              + C.
                3       3

       Анализируя оба решения третьего примера, приходим к выводу, что
можно найти последний интеграл, не вводя новой переменной, а подведя часть
подинтегральной функции под знак дифференциала с дальнейшим
использованием свойства инвариантности первообразной функции; поэтому,
если в аналогичных примерах всё же используется метод замены, то он носит
название «Замена переменной подведением под знак дифференциала».

         e x dx         t = ex                dt
4)   ∫ sin 2 e x   =
                        dt = e dtx
                                        =∫
                                               2
                                             sin t
                                                     = − ctg t + C = − ctg e x + C ;


                 t = ln x
           dx                dt
5)   ∫         =
         x ln x dt = dx
                       1  = ∫ = ln t + C = ln ln x + C ;
                             t
                       x

          cos x dx           t = sin x                  dt
6)   ∫                   =
                             dt = cos x dx
                                               =∫              = ln t + 1 + t 2 + C =
          1 + sin 2 x                                  1+ t2


     = ln sin x + 1 + sin 2 x + C.


           С л е д с т в и е 2: Если           ∫ f (x )dx = F (x ) + C , то
                                                                       1
                        ∀ a∈R , b∈R :           ∫   f (ax + b ) dx =     F (ax + b ) + C .
                                                                       a


                                                                                             9

Страницы