Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

.2ln2ln
22
22
2
22
2
22
22
22
2
22
2
Cxxxx
x
dx
x
dx
dx
xx
x
dx
xx
x
++++−+=
−
+
+
=
=
+−
+
+
+−
−
=
∫∫
∫∫
3-й метод – метод замены переменной.
Теорема 2. Если функция y = f(x) непрерывна на множестве X, а функция
)(
t
x
ϕ
= – непрерывно-дифференцируема на соответствующем множестве T и
имеет на нём обратную, то
[
]
∫∫
′
= dtttfdxxf )()()(
ϕϕ
. (1)
Следствия из теоремы о замене переменной.
С л е д с т в и е
1: Вид первообразной инвариантен (не зависит)
относительно переменной интегрирования.
Действительно, т.к.
[
]
∫∫
′
= dtttfdxxf )()()(
ϕϕ
, а
(
)(
tddtt
)
ϕ
ϕ
=
′
,
то формула (1) может быть записана в виде
()
(
)
[
]
(
)
∫∫
= tdtfdxxf
ϕϕ
, (2)
а это означает, что если
()
(
)
∫
+= CxFdxxf , то
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
CtFtdtf +=
∫
ϕϕϕ
.
Рассмотрим несколько примеров, в которых воспользуемся этим
свойством для нахождения
:
()
∫
dxxf
1)
C
x
dxx +=
∫
3
3
2
;
2)
C
x
xdx +=⋅
∫
3
cos
coscos
3
2
;
8
                   x2 − 2                          x2 + 2
  =∫                               dx + ∫                         dx =
               2         2                     2           2
           x −2        x +2                  x −2        x +2


           dx                 dx
  =∫                +∫                = ln x + x 2 − 2 + ln x + x 2 + 2 + C.
           x2 + 2            x2 − 2

           3-й метод – метод замены переменной.

          Теорема 2. Если функция y = f(x) непрерывна на множестве X, а функция
x = ϕ (t ) – непрерывно-дифференцируема на соответствующем множестве T и
имеет на нём обратную, то

                                         ∫ f ( x ) dx = ∫ f [ ϕ (t ) ] ϕ ′(t ) dt .                  (1)

       Следствия из теоремы о замене переменной.
       С л е д с т в и е 1: Вид первообразной инвариантен (не зависит)
относительно переменной интегрирования.
       Действительно, т.к.

                             ∫ f ( x ) dx = ∫ f [ϕ (t ) ] ϕ ′(t ) dt ,   а ϕ ′(t ) dt = d ϕ (t ) ,

то формула (1) может быть записана в виде


                                         ∫ f (x ) dx = ∫ f [ϕ (t )] d ϕ (t ),                        (2)


а это означает, что если            ∫ f (x ) dx = F (x ) + C , то

                                            ∫ f [ϕ (t )] d ϕ (t ) = F [ϕ (t )] + C .
       Рассмотрим несколько примеров, в которых воспользуемся этим
свойством для нахождения ∫ f ( x ) dx :
            x3
1) ∫ x dx =
       2
               + C;
            3

                       cos 3 x
2) ∫ cos x ⋅ d cos x =
           2
                               +C;
                         3


                                                                                                       8

Страницы