Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

()()
⇔
+
+
−
+=
+−
+
1212
2
x
C
x
B
x
A
xxx
x
()()
()()
(
)
(
)
()()
⇔
+−
−
+
+
++
−
=
+−
+
12
2112
12
2
xxx
xxCxxBxxA
xxx
x
()
(
)
(
)
(
)
xxCxxBxxAx 21122
−
+
+
+
+
−=
+
. (4)
Чтобы найти неизвестные коэффициенты А, В, С дадим переменной х
некоторые значения и подставим их в уравнение (4), получим:
()
()()
;
3
1
131:1
,1122:0
,
3
2
324:2
=⇒−⋅−⋅=−=
−=⇒⋅−⋅==
=⇒⋅⋅==
CCx
AAx
BBx
1
1
3
1
2
1
3
21
2
2
23
+
⋅+
−
⋅+−=
−−
+
xxx
xxx
x
.
2. Представить правильную дробь
()()
()
3
2
42
2
252
204
+++−
+−
xxxxx
xx
в виде
суммы простейших дробей в общем виде.
()()
()
() ()
+
+
+
+
+
−
+
−
+=
+++−
+−
2
21
2
21
3
2
42
2
5
5
2
2
252
204
x
C
x
C
x
B
x
B
x
A
xxxxx
xx
()()
()()
.
22
2
55
3
2
33
2
2
22
2
11
4
4
3
3
++
+
+
++
+
+
++
+
+
+
+
+
+
xx
PxD
xx
PxD
xx
PxD
x
C
x
C
Этот пример приведён вместо сложной формулировки теоремы о
разложении правильной рациональной дроби на простейшие.
Интегрирование простейших рациональных дробей.
1.
∫∫
+−=
−
=
−
CaxA
a
x
dx
Adx
a
x
A
ln ;
16
       x+2          A   B    C
                   = +     +      ⇔
x ( x − 2 )( x + 1) x x − 2 x + 1

      x+2             A ( x − 2 )( x + 1) + B ( x + 1) x + C ( x − 2 )x
                    =                                                                 ⇔
x ( x − 2 )( x + 1)                   x ( x − 2 )( x + 1)


                            x + 2 = A ( x − 2 )( x + 1) + B ( x + 1) x + C ( x − 2 ) x .                     (4)

       Чтобы найти неизвестные коэффициенты А, В, С дадим переменной х
некоторые значения и подставим их в уравнение (4), получим:
                                         2
x = 2: 4 = B ⋅2⋅3 ⇒ B =                    ,
                                         3
x = 0 : 2 = A ⋅ (− 2 ) ⋅ 1 ⇒            A = −1,
                                    1
x = −1 : 1 = C ⋅ (− 3) ⋅ (− 1) ⇒ C = ;
                                    3
     x+2         1 2 1      1 1
             = −  + ⋅     +  ⋅    .
x3 − x2 − 2x     x 3 x − 2 3 x +1

                                                                                 x 2 − 4 x + 20
           2. Представить правильную дробь                                                                в виде
                                                                                              (
                                                                    x ( x − 2 ) ( x + 5) x + x + 2
                                                                              2          4        2
                                                                                                      )
                                                                                                      3

суммы простейших дробей в общем виде.

            x 2 − 4 x + 20                      A   B       B2       C1       C2
                                            =     + 1 +            +     +           +
                        (
x ( x − 2 ) 2 ( x + 5) 4 x 2 + x + 2   )3       x x − 2 ( x − 2 ) 2 x + 5 ( x + 5) 2

      C3             C4          D1 x + P1            D 2 x + P2             D3 x + P3
+               +            +                   +                       +                    .
    ( x + 5 ) 3 ( x + 5) 4       x2 + x + 2          (x   2
                                                              +x+2   ) (x
                                                                     2       2
                                                                                 +x+2   ) 3



      Этот пример приведён вместо сложной формулировки теоремы о
разложении правильной рациональной дроби на простейшие.
                    Интегрирование простейших рациональных дробей.

                    A                  dx
           1.   ∫ x − a dx = A∫ x − a = A ln                  x − a + C;




                                                                                                              16

Страницы