Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

2.
()
()
(
)
()
C
ax
k
A
C
k
ax
AdxaxAdx
ax
A
k
k
k
k
+
−
⋅
−
=+
+−
−
=−=
−
−
+−
−
∫∫
1
1
1
11
;
3.
()
=
+=
′
++
=
++
+
∫
pxqpxx
dx
qpxx
BAx
2
язнаменателюпроизводну
числителевВыделим
2
2
=
++
−++
=
++
+
=
++
+
=
∫∫∫
dx
qpxx
p
A
B
px
A
dx
qpxx
A
B
x
A
dx
qpxx
A
B
x
A
222
2
2
2
2
2
2
==
++
−
+
++
+
=
∫∫
езнаменател вквадрат
полный Выделим
2
2
2
2
22
dx
qpxx
p
A
B
A
dx
qpxx
px
A
()
=>−=
−+
+
⋅
−+++=
∫
0
4
42
2
2
ln
2
2
2
2
2
p
q
р
q
р
x
dx
p
A
BA
qpxx
A
()
C
р
q
р
x
р
q
pA
Bqpxx
A
+
−
+
⋅
−
⋅
−+++⋅=
4
2
arctg
4
1
2
ln
2
2
2
2
2
;
4.
()
∫
++
+
dx
qpxx
BAx
k
2
– не рассматриваем, т.к. встречается редко; можно
посмотреть рекуррентную формулу в любом справочнике.
1.1.3 Интегрирование тригонометрических функций R(sin x; cos x)
(
∫
dxxxR cos;sin
)
всегда может быть найден с помощью универсальной
тригонометрической подстановки
2
x
tg=t . В этом случае:
;
1
2
,
1
1
cos,
1
2
sin
22
2
2
t
dt
dx
t
t
x
t
t
x
+
=
+
−
=
+
=
17
                             A                                                (x − a )− k +1              A         1
           2.   ∫ ( x − a )k             dx = A∫ ( x − a )   −k
                                                                  dx = A                       +C =          ⋅              +C;
                                                                                  − k +1                1 − k ( x − a )k −1


                                                    Выделим в числителе
                         Ax + B       производную знаменател я
           3.   ∫                dx =                           =
                    x 2 + px + q
                                                     ′
                                                      (
                                         x 2 + px + q = 2 x + p               )

         B                 2B                   2B
            x+        2x +             2x + p +    −p
          A        A        A       A            A
= A∫ 2         dx = ∫ 2         dx = ∫     2
                                                      dx =
    x + px + q     2 x + px + q     2    x + px + q

                      2B
                         −p
 A   2x + p       A    A            Выделим полный
= ∫ 2         dx + ∫ 2         dx =                        =
 2 x + px + q     2 x + px + q      квадрат в знаменател е


=
    A
       (               A  2B
      ln x 2 + px + q + 
                       2 A
                                 )
                                 
                              − p ⋅ ∫
                                              dx
                                              2
                                                        = q −
                                                              p2
                                                                 >0 =
    2                                    р       р 2       4
                                       x +  + q −
                                          2       4
                                                                                               р
                                                                                        x+
=
    A
    2
           (              
      ⋅ ln x 2 + px + q +  B −
                                pA 
                                2 
                                   ⋅)                            1
                                                                             ⋅ arctg           2       +C;
                                                                     р 2
                                                                                               р   2
                                                             q−                        q2 −
                                                                      4                         4

                             Ax + B
           4.   ∫                                dx – не рассматриваем, т.к. встречается редко; можно
                    (x
              + px + q   2
                                            )k

посмотреть рекуррентную формулу в любом справочнике.


       1.1.3 Интегрирование тригонометрических функций R(sin x; cos x)


           ∫ R (sin x ; cos x ) dx               всегда может быть найден с помощью универсальной
                                                                             x
тригонометрической подстановки t = tg                                          . В этом случае:
                                                                             2
               2t                           1− t2                     2 dt
sin x =             2
                      , cos x =                     , dx =                    ;
           1+ t                             1+ t2                 1+ t2
                                                                                                                           17

Страницы