Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

()
∫∫
=
+
⋅
+
−
+
= dttRdt
t
t
t
t
t
RdxxxR )(
1
2
1
1
;
1
2
cos;sin
*
2
2
2
∫
,
где R*(t) – рациональная дробь, с которой мы умеем работать.
Применение подстановки
2
x
tgt = часто приводит к сложной дроби
R*(t), поэтому, если есть возможность, то выбирают другую замену, которая
приводит к более рациональному решению.
Рассмотрим другие подстановки, упрощающие нахождение
:
()
∫
dxxxR cos;sin
1) если
()()
xtxxRxxR cosто,cos;sincos;sin
=
−=− ;
2) если
()()
xtxxRxxR sinто,cos;sincos;sin
=
−=− ;
3) если , то:
()(
xxRxxR cos;sincos;sin =−−
)
а) R – не содержит знаменателя, понижается степень функции R с исполь-
зованием формул
() ()
αααα
2cos1
2
1
sin;2cos1
2
1
cos
22
−=+= ;
б) R – содержит знаменатель, делается замена t = tg x или t = ctg x.
Примеры. Найти интегралы:
1. dx
x
x
∫
2
3
cos
sin
.
()
()()
;cos,cos;sincos;sin
cos
sin
cos
sin
2
3
2
3
xtxxRxxR
x
x
x
x
=−=−⇒−=
−
=
−=
=
=⋅
−
=
⋅
=
∫∫∫
dxxdt
xt
dxx
x
x
x
dxxx
dx
x
x
sin
cos
sin
cos
cos1
cos
sinsin
cos
sin
2
2
2
2
2
3
()
=−=
−=
−
=−
−
=
∫∫∫∫∫
−
dttdtdt
t
dt
t
t
dt
t
t
2
22
2
2
2
1
1
1
1
.
cos
1
cos
1
1
1
C
x
xC
t
tC
t
t ++=++=+
−
−=
−
18
                                                2t      1− t2  2
                  ∫ R (sin x ; cos x ) dx = ∫  1 + t 2 1 + t 2  ⋅ 1 + t dt = ∫ R (t ) dt ,
                                             R        ;                           *

                                                                

            где R*(t) – рациональная дробь, с которой мы умеем работать.
                                       x
            Применение подстановки t = tg часто приводит к сложной дроби
                                       2
R*(t), поэтому, если есть возможность, то выбирают другую замену, которая
приводит к более рациональному решению.
         Рассмотрим       другие подстановки,   упрощающие    нахождение
∫ R (sin x ; cos x ) dx :
1) если R (− sin x; cos x ) = − R (sin x; cos x ), то t = cos x ;

2) если R (sin x; − cos x ) = − R (sin x; cos x ), то t = sin x ;

3) если R (− sin x; − cos x ) = R (sin x; cos x ) , то:

   а) R – не содержит знаменателя, понижается степень функции R с исполь-
      зованием формул
                                         1                                   1
                         cos 2 α =         (1 + cos 2α ) ;       sin 2 α =     (1 − cos 2α ) ;
                                         2                                   2

   б) R – содержит знаменатель, делается замена t = tg x или t = ctg x.

            Примеры. Найти интегралы:

                   sin 3 x
            1.   ∫ cos 2 x dx .

(− sin x )3           sin 3 x
                 =−               ⇒ R (− sin x; cos x ) = − R (sin x; cos x ), t = cos x;
  cos 2 x             cos 2 x

  sin 3 x              sin 2 x ⋅ sin x dx          1 − cos 2 x                   t = cos x
∫ cos 2 x   dx = ∫
                               cos 2 x
                                              =∫
                                                     cos 2 x
                                                                 ⋅ sin x dx =
                                                                                 dt = − sin x dx
                                                                                                   =


     1− t2                     t2 −1              1
=∫               (− dt ) = ∫           dt = ∫ 1 − 2  dt = ∫ dt − ∫ t − 2 dt =
      t2                        t2               t 

      t −1          1                1
=t−        + C = t + + C = cos x +       + C.
      −1            t              cos x
                                                                                                       18

Страницы