Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

2.
∫
dx
x
x
3
3
sin
cos
.
а)
()
()()
;sin,cos;sincos;sin
sin
cos
sin
cos
3
3
3
3
xtxxRxxR
x
x
x
x
=−=−⇒−=
−
б)
()
()()
;cos,cos;sincos;sin
sin
cos
sin
cos
3
3
3
3
xtxxRxxR
x
x
x
x
=−=−⇒−=
−
в)
()
()
()(
,cos;sincos;sin
cos
sin
cos
sin
cos
sin
3
3
3
3
3
3
xxRxxR
x
x
x
x
x
x
=−−⇒=
−
−
=
−
−
)
x
tg
t
x
ctg
t
== или
.
Из трёх возможных замен, наиболее рациональной является замена
x
t
sin
=
,
dx
x
d
t
cos= .
∫∫ ∫
=
−
=
⋅
= dxx
x
x
x
dxxx
dx
x
x
cos
sin
sin1
sin
coscos
sin
cos
3
2
3
2
3
3
.sinln
sin2
1
ln
2
11
2
2
3
3
2
Сx
x
Ct
t
dt
t
tdt
t
t
+−−=+−
−
=
−=
−
=
−
−
−
∫∫
3. .
∫
dxx2sin
2
() ()
(
)
xRxRxx 2sin2sin2sin2sin
2
2
=−⇒=−
и не содержит знаменатель;
используется метод понижения степени:
()
;4cos1
2
1
2sin
2
xx −=
()
.4sin
4
1
2
1
4cos1
2
1
2sin
2
Cxxdxxdxx +
−=−=
∫∫
4. .
∫
dxxtg
2
(
)
=
+
−=
+
−+
=
+
=
+
=
==
=
∫∫∫
dt
t
dt
t
t
dt
t
t
t
dt
dx
tarctgxxtgt
dxxtg
1
1
1
1
11
1
1
;
22
2
2
2
2
2
∫
.
x
x
t
g
t
arct
g
t
+−=+−=
19
               cos 3 x
2.         ∫ sin 3 x dx .

      (− cos x )3               cos 3 x
а)             3
                          =−        3
                                                ⇒ R (sin x; − cos x ) = − R (sin x; cos x ), t = sin x;
          sin x                 sin x

          cos 3 x               cos 3 x
б)                       =−                  ⇒ R (− sin x; cos x ) = − R (sin x; cos x ), t = cos x;
      (− sin x )3               sin 3 x

      (− sin x )3             − sin 3 x         sin 3 x
в)                        =                 =             ⇒ R (− sin x; − cos x ) = R (sin x; cos x ),
      (− cos x )3             − cos 3 x         cos 3 x
      t = ctg x или t = tg x .

Из трёх возможных замен, наиболее рациональной является замена t = sin x ,
dt = cos x dx .
     cos 3 x                  cos 2 x ⋅ cos x dx          1 − sin 2 x
 ∫ sin 3 x dx = ∫                  sin 3 x
                                                     =∫
                                                            sin 3 x
                                                                        cos x dx =


      1− t2                −3 1      t −2                    1
=∫                 dt = ∫  t −  dt =      − ln t + C = −         − ln sin x + С.
                                       −2                       −2
          t3                  t                          2 sin x


           ∫ sin
                   2
3.                      2 x dx .

(− sin 2 x )2 = sin 2 2 x⇒ R (− sin 2 x ) = R (sin 2 x ) и не содержит знаменатель;
используется метод понижения степени:
           1
sin 2 2 x = (1 − cos 4 x );
           2
               1                       1       1          
∫ sin 2 x dx = 2 ∫ (1 − cos 4 x ) dx = 2  x − 4 sin 4 x  + C.
      2




           ∫ tg
                   2
4.                     x dx .

                        t = tg x; x = arctg t
                                                                t2              (t 2 + 1) − 1 dt =     
                                                                                                            1 
∫ tg x dx =                                               =∫           dt = ∫                        ∫  t 2 + 1  dt =
      2
                                   dt                                                                    1 −
                        dx =            2                      t2 +1              t2+1                          
                                1+ t

 = t − arctg t + C = tg x − x + C.

                                                                                                                          19

Страницы