Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Рисунок 1.
f
(
ξ
i
)
y = f(x)
у
х
a b
x
i
–
1
ξ
i
x
i
Длину каждого i-го участка разбиения обозначим
nix
i
÷
=
∀∆ 1.
i
x
,
площадь части криволинейной трапеции с основанием
,
1−
−=∆
iii
xxx
∆
обозначим S
i
∑
=
=
n
i
i
SS
1
трап.
.
Найдем приблизительно значение S
i
:
()
[]
(
)
[]
ii
xxba
CxfCxf
,,
1−
∈
⇒∈
,
следовательно, изменением функции f(x) на i-ом участке можно пренебречь, т.к.
сам участок мал, т.е. выбираем произвольно точку
[]
(
)
iiii
fxx
ξ
ξ
→∈
−
,
1
,
[]
ii
xxx ,
1−
∈∀
() ( )
i
fxf
ξ
≈
;
)
iii
xfS
∆
≈
ξ
.
()
∑
=
∆≈
n
i
ii
xfS
1
трап.
ξ
0→
i
– это значение будет тем точнее, чем на большее
число участков разбит отрезок [a,
b] и чем меньше длина каждого участка
разбиения, поэтому будем считать, что разбиение проводилось так, что
max
1
∆
≤≤ ni
x
()
∑
=
→∆
∆=
n
i
ii
x
xfS
i
1
0max
lim
ξ
.
21
                                        у
                                                                                 y = f(x)




                                                    f(ξi)

                                                                                                  х
                          a                     xi–1ξi xi                                     b
                                                Рисунок 1.

        Длину каждого i-го участка разбиения обозначим ∆xi . ∀ i = 1 ÷ n ,
∆xi = xi − xi −1 , площадь части криволинейной трапеции с основанием ∆xi
обозначим Si
                                                                n
                                              S трап. = ∑ S i .
                                                             i =1


            Найдем приблизительно значение Si :

                              f ( x ) ∈ C [a ,b ]     ⇒         f ( x ) ∈ C [xi −1 , xi ] ,

следовательно, изменением функции f(x) на i-ом участке можно пренебречь, т.к.
сам участок мал, т.е. выбираем произвольно точку ξ i ∈ [x i −1 , x i ] → f (ξ i ) ,
∀x ∈ [x i −1 , x i ] f ( x ) ≈ f (ξ i ) ; S i ≈ f (ξ i )∆x i .

                    n
            S трап. ≈ ∑ f (ξ i )∆x i – это значение будет тем точнее, чем на большее
                   i =1
число участков разбит отрезок [a, b] и чем меньше длина каждого участка
разбиения, поэтому будем считать, что разбиение проводилось так, что
max ∆x i → 0
  1≤i ≤ n

                                                            n
                                    S=         lim
                                            max ∆xi → 0 i =1
                                                            ∑ f (ξ i )∆x i .

                                                                                                      21

Страницы