Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Определение: Если существует конечный , который
не зависит ни от способа разбиения отрезка [a,
b] на части, ни от выбора внутри
этих частей точек
()
∑
=
→∆
∆
n
i
ii
x
xf
i
1
0max
lim
ξ
i
ξ
, то этот предел называется определённым интегралом
функции y
= f(x) на отрезке [a, b] и обозначается
()
dxxf
b
a
∫
.
По определению ;
называется интегральной суммой функции y = f(x) на отрезке [a, b].
() ( )
∑
∫
=
→∆
∆=
n
i
ii
x
b
a
xfdxxf
i
1
0max
lim
ξ
()
∑
=
∆
n
i
ii
xf
1
ξ
Завершая решение поставленной выше задачи, запишем ответ:
()
dxxfS
b
a
∫
=
трап.
.
Определение: Если для функции y = f(x) существует , то
функция y
= f(x) называется интегрируемой на отрезке [a, b]. Обозначается
()
dxxf
b
a
∫
(
)
[]
ba
Jxf
;
∈
.
Классы функций, интегрируемых на отрезке:
1)
;
()
[]
ba
Cxf
;
∈
2) функции, ограниченные на [a, b] и имеющие конечное число точек разрыва;
3) функции, монотонные на [a,
b].
Свойства
()
dxxf
b
a
∫
1) Свойства, заданные определениями
1
0
;
() ()
dxxfdxxf
a
b
b
a
∫∫
−=
22
                                                                                            n
             Определение: Если существует конечный                                lim       ∑ f (ξ i )∆x i , который
                                                                               max ∆xi → 0 i =1

не зависит ни от способа разбиения отрезка [a, b] на части, ни от выбора внутри
этих частей точек ξ i , то этот предел называется определённым интегралом
функции y = f(x) на отрезке [a, b] и обозначается
                                                       b

                                                       ∫ f (x ) dx .
                                                       a

                                        b                                 n
             По определению             ∫   f ( x ) dx =      lim        ∑ f (ξ i )∆x i ;
                                                           max ∆xi → 0 i =1
                                        a
 n
∑ f (ξ i )∆x i       называется интегральной суммой функции y = f(x) на отрезке [a, b].
i =1

             Завершая решение поставленной выше задачи, запишем ответ:
                                                              b
                                                 S трап. = ∫ f ( x ) dx .
                                                              a

                                                                                                     b
             Определение: Если для функции y = f(x) существует                                       ∫ f (x ) dx ,   то
                                                                                                     a
функция y = f(x) называется интегрируемой на отрезке [a, b]. Обозначается

                                                     f ( x ) ∈ J [a ; b ] .

Классы функций, интегрируемых на отрезке:
1) f ( x )∈ C[a; b ] ;
2) функции, ограниченные на [a, b] и имеющие конечное число точек разрыва;
3) функции, монотонные на [a, b].

                 b
Свойства        ∫ f ( x ) dx
                 a

             1) Свойства, заданные определениями
        b               a

        ∫ f (x ) dx = − ∫ f (x ) dx ;
    0
1
        a               b




                                                                                                                     22

Страницы