Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 24 стр.

                                        1
                                                (                          ) (                  )
     1
              3 x −1       1          1                 1
1. ∫ e                 dx = e 3 x −1 = e 3−1 − e 3⋅0−1 = e 2 − e −1 .
     0
                           3        0 3                 3

      π
                                    π
      4
                                                    π                π                 2    2
2.    ∫ cos x dx = sin x −4π = sin 4 − sin − 4  =                                   2
                                                                                           +
                                                                                             2
                                                                                                = 2.
         π                              4
     −
         4



               1.2.1 Замена переменной


Теорема 5. Если y = f ( x ) ∈ C [a ; b] , x = ϕ (t ) – непрерывно-дифференци-руема на
[α, β], ϕ (α ) = a , ϕ (β ) = b, то справедливо следующее равенство

                                                 b                         β

                                                 ∫ f (x ) dx = ∫ f [ϕ (t )] ϕ ′(t ) dt .
                                                 a                         α

        Замечание – В отличие от замены переменной в неопределённом
интеграле, замена переменной в определённом интеграле не требует возврата в
ответе к старой переменной.

                  Примеры. Найти интегралы:

                            t = ln x
     e2                  dx                                                                 2           2
               dx           dt =                        2
                                                            dt        2
                                                                           −2        t −1    1     1   1
1.   ∫           2
                   =      x
             x ln x α = ln e = 1
                                                    =∫
                                                            t   2
                                                                    = ∫t        dt =
                                                                                     −1 1
                                                                                          =−
                                                                                             t1
                                                                                                = − +1= .
                                                                                                   2   2
     e                                                  1            1

                            β = ln e 2 = 2

                                            t = sin x
     π
                                            dt = cos x dx
                                                                                    (      ) dt =∫ t 2 (1 − 2t 2 + t 4 ) dt =
     2                                                                     1                        1
                                                                                          2 2
     ∫ sin            x ⋅ cos x dx = α = sin 0 = 0 = ∫ t 1 − t
                  2         5                                                   2
2.
     0                                                                     0                        0
                                                        π
                                            β = sin             =1
                                                        2
                                                                           1

              (                 )         t3 4 5 t7 
          1
                                                        1 4 1 35 − 84 + 15     34
     = ∫ t 2 − 4t 4 + t 6           dt =  − t +  = − + =                 =−     .
                                         3 5      7   3 5 7     105         105
          0                                         0


                                                                                                                                24