Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 25 стр.

        1.2.2 Интегрирование по частям


                                  u = u ( x )
          Теорема 6. Если                     – непрерывно-дифференцируемы на [a, b], то:
                                  v = v(x )

                                        b                 b     b

                                        ∫ u dv = u ⋅ v        − ∫ v du .
                                        a                 a     a

                                   π
                                    2
          Пример 1. Найти           ∫ x cos 2 x dx .
                                    0
π
2                    u = x,        dv = cos 2 x dx
∫ x cos 2 x dx =     du = dx,      v = ∫ cos 2 x dx =
                                                           1
                                                             sin 2 x
                                                                     =
0
                                                           2

                         π
                 π                                                              π
     1       2 1          2
                              π 1           1       1       2
= x ⋅ sin 2 x − ∫ sin 2 x dx = ⋅ sin π − 0 ⋅ sin 0 + cos 2 x =
     2       0 20             2 2           2       4       0



    1
=     (cos π − cos 0) = 1 (− 1 − 1) = − 1 .
    4                   4               2


     1.2.3 Решение некоторых                           геометрических        задач   с   помощью
определённого интеграла


1) Площадь плоской фигуры

          y = f 1 ( x ) ∈ C [a ; b]
         
     S :  y = f 2 ( x ) ∈ C [a ; b]
         
         ∀x ∈ [a , b] f 1 ( x ) ≤ f 2 ( x )

                                               b
                                        S = ∫ [ f 2 ( x ) − f 1 ( x )] dx.
                                               a




                                                                                              25