Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

2
0
;
()
0=
∫
dxxf
а
a
2) Свойства, выраженные равенствами
3
0
;
()
[]
() ()
∫∫
=∃⇒
∈∀
∈
b
a
b
a
ba
dxxfkdxxkf
Rk
Jxf
;
4
0
;
()
[]
()
[]
() ()
[]
() ()
∫∫∫
+=+∃⇒
∈
∈
b
a
b
a
b
a
ba
ba
dxxgdxxfdxxgxf
Jxg
Jxf
;
;
5
0
;
()
[]
()
[]
() () ()
∫∫∫
+=∃∀⇒
∈
∈
∈
b
c
b
a
c
a
Rc
bc
ca
dxxfdxxfdxxf
Jxf
Jxf
;
;
3) Свойства, выраженные неравенствами
6
0
∀
[]
() ()
∫
≥⇒≥∈
b
a
dxxfxfbax 00;;
7
0
∀
[]
() () () ()
∫∫
≤⇒≤∈
b
a
b
a
dxxgdxxfxgxfbax ;;
8
0
∀
[]
() ( ) () ( )
∫
−≤≤−⇒≤≤∈
b
a
abMdxxfabmMxfmbax .;
Теорема 4 (о среднем в определённом интеграле).
Если
то
∃
[]
bax ;∈∀
()
,Mxfm ≤≤
() ( )
−=
≤≤
∫
.
:
b
a
abdxxf
Mm
µ
µ
µ
Следствие из теоремы:
()
[]
[]
() ( )( )
∫
−⋅=∈∃∈
b
a
ba
abxfdxxfbaxCxf
00;
:;то,Если .
Формула Ньютона-Лейбница
()
[]
() ()
[]
() () ()
.то
,;нанаяпервообраз
,
Если
;
∫
−=
−
∈
b
a
ba
aFbFdxxf
baxfxF
Cxf
Примеры. Вычислить интегралы:
23
        а

        ∫ f (x ) dx = 0 ;
    0
2
        a
2)          Свойства, выраженные равенствами
        f ( x ) ∈ J [a ; b]     b                 b
                             ⇒ ∃∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx ;
    0
3
           ∀k ∈ R               a                 a

  f ( x ) ∈ J [a ; b]     b                           b              b
                        ⇒ ∃∫ [ f ( x ) + g ( x )] dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx ;
    0
4
  g ( x ) ∈ J [a ; b]     a                           a              a

        f ( x ) ∈ J [a ; c ]           b              c              b
                               ⇒ ∀ c∈R ∃∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx ;
    0
5
        f ( x ) ∈ J [c; b]             a              a              c


3)          Свойства, выраженные неравенствами
                                           b
6 ∀x ∈ [a; b]
    0
                        f (x ) ≥ 0 ⇒       ∫ f (x ) dx ≥ 0 ;
                                           a
                                               b               b
7 ∀x ∈ [a; b]
    0
                        f (x ) ≤ g (x ) ⇒      ∫ f (x ) dx ≤ ∫ g (x ) dx ;
                                               a               a
                                                                   b
8 ∀x ∈ [a; b]
    0
                        m ≤ f (x ) ≤ M      ⇒ m(b − a ) ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ M (b − a ).
                                                                   a
Теорема 4 (о среднем в определённом интеграле).
                                            m ≤ µ ≤ M
                                            
Если ∀x ∈ [a; b] m ≤ f ( x ) ≤ M , то ∃ µ :  b
                                             ∫ f ( x ) dx = µ (b − a ).
                                            a

Следствие из теоремы:
                                                         b
Если         f ( x ) ∈ C [a ; b] , то ∃ x 0 ∈ [a; b] :   ∫ f (x ) dx = f (x 0 ) ⋅ (b − a ) .
                                                         a


                                    Формула Ньютона-Лейбница

      f ( x ) ∈ C [a ; b] ,                                              b
Если 
       F ( x ) − первообраз  ная f ( x ) на [a ; b ],
                                                      то                  ∫ f (x ) dx = F (b) − F (a ).
                                                                         a


Примеры. Вычислить интегралы:


                                                                                                          23

Страницы