Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

5.
∫
+
x
dx
cos2
.
Так как функция
x
cos2
1
+
не обладает свойством чётности (нечётности)
относительно своего тригонометрического аргумента cos
x, то возможна только
универсальная тригонометрическая подстановка
,
2
x
tgt =
,
1
1
cos
2
2
t
t
x
+
−
=
.
1
2
2
t
dt
dx
+
=
()
=
+
=
+
=
+
−++
+
=
+
−
+
+
=
+
∫∫∫ ∫∫
2
22
2
22
2
2
2
2
3
2
3
2
1
122
1
2
1
1
2
1
2
cos2
t
dt
t
dt
t
tt
t
dt
t
t
t
dt
x
dx
.
2
3
1
3
2
33
1
2 C
x
tgarctgC
t
arctg +
=+⋅=
]
1.2 Определенный интеграл
Задача, приводящая к понятию определённого интеграла
Дана функция y = f(x), определённая на [a, b], удовлетворяющая
следующим условиям:
()
[
ba
Cxfy
;
∈= (непрерывна на [a; b]);
[]
()
0; ≥∈∀ xfbax
.
Требуется найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями: y
= f(x), y = 0, x = a, x = b.
Решение задачи:
Разобьём [a,
b] произвольным образом на n-частей точками x
0
, x
1
, х
2
, …, x
n
так,
что a
= x
0
< x
1
< x
2
< …< x
n–1
< x
n
= b (n – велико, а [x
i–1
, x
i
] – малы).
20
              dx
5.      ∫ 2 + cos x .
                       1
Так как функция              не обладает свойством чётности (нечётности)
                   2 + cos x
относительно своего тригонометрического аргумента cos x, то возможна только
                                                          x          1− t2
универсальная тригонометрическая подстановка t = tg , cos x =               ,
                                                          2               2
                                                                     1+ t
      2 dt
dx =      2
            .
     1+ t

                        2 dt             dt
     dx       1+ t2 = 2      1+ t2             dt              dt
∫ 2 + cos x ∫ 1 − t 2 ∫ 2 + 2t 2 + 1 − t 2 ∫ 3 + t 2 = 2∫
           =                              = 2                              =
             2+                                             ( 3) + t
                                                                2      2

                1+ t2        1+ t2

       1            t          2        1   x
=2⋅         arctg       +C =     arctg    tg  + C.
        3           3          3        3 2



       1.2 Определенный интеграл


           Задача, приводящая к понятию определённого интеграла
      Дана функция y = f(x), определённая на [a, b], удовлетворяющая
следующим условиям:

y = f ( x )∈ C[a; b ] (непрерывна на [a; b]);

∀x ∈ [a; b ] f ( x ) ≥ 0 .

Требуется найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями: y
= f(x), y = 0, x = a, x = b.

Решение задачи:

Разобьём [a, b] произвольным образом на n-частей точками x0, x1, х2, …, xn так,
что a = x0 < x1 < x2 < …< xn–1 < xn = b (n – велико, а [xi–1, xi] – малы).



                                                                               20

Страницы