Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

1 Интегралы
1.1 Неопределенный интеграл
Рассмотрим функцию y
= f(x), определенную на множестве Х.
Поставим задачу: требуется найти функцию F(x) такую, что в каждой
внутренней точке множества Х было бы справедливо равенство
()
(
)
xfxF =
′
.
Отметим, что эта задача легко решается для многих элементарных
функций. Например, функция
y = cos x определена на R. Найдём для неё F(x).
Очевидно, что:
()
xxF sin
1
= , т.к. ;
()
xxRx cossin: =
′
∈∀
()
2
1
sin
2
−= xxF , т.к. xxRx cos
2
1
sin: =
′
−∈∀ и т.д.;
()
CxxF += sin , где C = const, т.к.
()
xCxRx cossin: =
′
+∈∀ .
Выводы, которые мы можем сделать из этого примера и из
поставленной выше задачи:
1) если для функции y
= f(x) существует F(x), то F(x) дифференцируема в
каждой внутренней точке множества Х;
2) если для функции y = f(x) существует хотя бы одна функция F(x), то
существует бесчисленно много таких функций, и все они отличаются друг от
друга на произвольную постоянную.
Определение: Функция F(x) называется первообразной функции y = f(x)
на множестве Х, если Х
x
∈∀ :
(
)
(
)
xfxF
=
′
.
Теорема 1. Две первообразные одной и той же функции отличаются
друг от друга на произвольную постоянную.
Эта теорема подтверждает тот вывод, который был сделан ранее при
решении примера: если у функции существует первообразная F(x), то будет
существовать бесчисленное множество первообразных, которое имеет вид
F(x) + C,
где C = const.
4
       1 Интегралы

       1.1 Неопределенный интеграл


       Рассмотрим функцию y = f(x), определенную на множестве Х.
       Поставим задачу: требуется найти функцию F(x) такую, что в каждой
внутренней точке множества Х было бы справедливо равенство F ′( x ) = f ( x ).
       Отметим, что эта задача легко решается для многих элементарных
функций. Например, функция y = cos x определена на R. Найдём для неё F(x).
Очевидно, что:

F1 ( x ) = sin x , т.к. ∀x ∈ R : (sin x )′ = cos x ;

                                               ′
                  1                        1
F2 ( x ) = sin x − , т.к. ∀x ∈ R :  sin x −  = cos x и т.д.;
                  2                        2

F ( x ) = sin x + C , где C = const, т.к. ∀x ∈ R : (sin x + C )′ = cos x .

       Выводы, которые мы можем сделать из этого примера и из
поставленной выше задачи:
1) если для функции y = f(x) существует F(x), то F(x) дифференцируема в
   каждой внутренней точке множества Х;
2) если для функции y = f(x) существует хотя бы одна функция F(x), то
   существует бесчисленно много таких функций, и все они отличаются друг от
   друга на произвольную постоянную.

      Определение: Функция F(x) называется первообразной функции y = f(x)
на множестве Х, если ∀x ∈ Х : F ′( x ) = f ( x ) .

       Теорема 1. Две первообразные одной и той же функции отличаются
друг от друга на произвольную постоянную.

      Эта теорема подтверждает тот вывод, который был сделан ранее при
решении примера: если у функции существует первообразная F(x), то будет
существовать бесчисленное множество первообразных, которое имеет вид

                                              F(x) + C,

         где C = const.



                                                                             4

Страницы