Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Определение: Множество всех первообразных функции y = f(x)
называется её неопределённым интегралом и обозначается
.
∫
dxxf )(
Из определения следует:
∫
+= СxFdxxf )()( ,
где знак интеграла,
∫
−
f(x) – подынтегральная функция,
f(x)
dx – подынтегральное выражение.
Свойства неопределённого интеграла:
1.
[]
)()( xfdxxf =
′
∫
;
2.
[
]
dxxfdxxfd )()( =
∫
;
3.
, где C = const;
∫
+= Cxxd )()(
ϕϕ
4.
[
]
∫∫∫∫
+=+∃⇒∃ dxxgdxxfdxxgxfdxxgdxxf )()()()()(,)(
∫
;
5.
.
∫∫∫
⋅=⋅∃∈∀⇒∃ dxxfdxxfRdxxf )()()(
ααα
Замечания:
1) свойства 4 и 5 называются линейными свойствами неопределённого
интеграла и верны с точностью до произвольной постоянной;
2) отметим без доказательства: если f(x) – непрерывная функция на
множестве Х, то существует
на этом множестве;
∫
dxxf )(
3) если производная от всякой элементарной функции есть функция
элементарная, про интеграл этого сказать нельзя;
∫
−
dxe
x
2
существует, но
функцией элементарной не является.
4) Отметим, что задача нахождения
является обратной задаче
дифференцирования функции f(x).
∫
dxxf )(
5
       Определение: Множество всех первообразных функции y = f(x)
называется её неопределённым интегралом и обозначается ∫ f ( x ) dx .

      Из определения следует:


                                         ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + С ,
      где    ∫   − знак интеграла,
             f(x) – подынтегральная функция,
             f(x) dx – подынтегральное выражение.


      Свойства неопределённого интеграла:

      1.    [∫ f ( x) dx] ′ = f ( x) ;
      2. d    [∫ f ( x) dx] = f ( x) dx ;
      3.    ∫ d ϕ ( x) = ϕ ( x) + C ,     где C = const;

      4. ∃     ∫ f ( x ) dx, ∫ g ( x ) dx       ⇒ ∃ ∫ [ f ( x ) + g ( x )] dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx ;

      5. ∃     ∫ f ( x ) dx   ⇒ ∀α ∈ R ∃ ∫ α ⋅ f ( x ) dx = α ⋅ ∫ f ( x ) dx .

       Замечания:
       1) свойства 4 и 5 называются линейными свойствами неопределённого
интеграла и верны с точностью до произвольной постоянной;
       2) отметим без доказательства: если f(x) – непрерывная функция на
множестве Х, то существует ∫ f ( x ) dx на этом множестве;
      3) если производная от всякой элементарной функции есть функция
                                                                               −x2
элементарная, про интеграл этого сказать нельзя;                          ∫e         dx существует, но
функцией элементарной не является.
      4) Отметим, что задача нахождения                      ∫ f (x)dx   является обратной задаче
дифференцирования функции f(x).




                                                                                                          5

Страницы