Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 61 стр.

–  характеристическое уравнение для уравнения (25). Это уравнение
представляет собой алгебраическое уравнение второй степени (квадратное
уравнение) и всегда имеет два корня. Рассмотрим все возможные случаи
решений квадратного уравнения:
       а) корни действительные различные
         k = k1 , k = k 2 , k1 ≠ k 2 ;

          y1 = e k1 x ,   y 2 = e k2 x ;

          y оо = c1e k1x + c 2 e k 2 x .


       б) корни действительные равные
          k = k1 = k 2 ;

          y1 = e k1 x ,   y 2 = xe k1 x .


         Убедиться в том, что xe k1 x – решение уравнения (25) достаточно
просто, если подставить эту функцию вместе с её производными первого и
второго порядков в уравнение (25). Таким образом, y оо = c1e k1x + c 2 xe k1x ;

       в) корни комплексно-сопряжённые
         k1 = α + β i, k 2 = α − β i ;

          y1 = e αx cos βx,        y 2 = e αx sin βx ;

          y оо = c1eαx cos β x + c 2 eαx sin β x .



     3.4.2 Нахождения частного решения неоднородного уравнения со
специальной правой частью f ( x ) = eαx Pn ( x ) , где Pn ( x ) − многочлен n-ой
степени.


        y чн будем находить методом подбора. Вид y чн зависит от того,
является ли α корнем характеристического уравнения (26). Рассмотрим все
возможные случаи подбора y чн :
       а) α – не является решением уравнения (26).

                                                    y чн = eαx Pn* ( x ) ,


                                                                             61