Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

1
2 cx
ey
+
= – подставляем начальное условие : 1
()
10 =y
1
0 c
e
+
=
,
следовательно,
c .
0
1
=
x
ey
2
= – решение задачи Коши.
3.4 Линейные дифференциальные равнения второго порядка с
постоянными коэффициентами
Уравнение вида
(
)
xfqyypy
=
+
′
+
′
′
, (24)
где constq
p
=, , называется линейным дифференциальным уравнением
второго порядка с постоянными коэффициентами.
0
=
+
′
+
′
′
qyypy . (25)
Дифференциальное уравнение (24) называется неоднородным
линейным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами,
дифференциальное уравнение (25) – однородным линейным уравнением
второго порядка с постоянными коэффициентами.
Общее решение уравнения (24):
чнооон
yyy
+
=
,
где – общее решение уравнения (25),
оо
y
– частное решение уравнения (24).
чн
y
3.4.1 Нахождение общего решения однородного уравнения
Теорема 20 (о структуре общего решения линейного однородного
уравнения
). Если у
1
(х), у
2
(х) – два частных линейно независимых решения
уравнения (25), то
()
(
)
xycxycy
оо 2211
+= , где constcc
−
21
,.
Будем находить частные решения
у
1
(х) и у
2
(х) в виде , (k = const),
, .
kx
ey =
kx
key =
′
kx
eky
2
=
′′
Из уравнения (25) ⇒≠∈∀=++⇔ 0:,0
2 kxkxkxkx
eRxqepkeek
0
2
=++ qpkk . (26)
60
 y = e 2 x + c1 – подставляем      начальное           условие    y (0 ) = 1 :   1 = e 0+ c1 ,
следовательно, c1 = 0 .

y = e 2 x – решение задачи Коши.

     3.4 Линейные дифференциальные равнения второго порядка с
постоянными коэффициентами


       Уравнение вида
                                   y ′′ + py ′ + qy = f ( x ) ,                        (24)

       где p, q = const , называется линейным дифференциальным уравнением
второго порядка с постоянными коэффициентами.

                                    y ′′ + py ′ + qy = 0 .                             (25)

       Дифференциальное уравнение (24) называется неоднородным
линейным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами,
дифференциальное уравнение (25) – однородным линейным уравнением
второго порядка с постоянными коэффициентами.
       Общее решение уравнения (24):

                                       y он = y оо + y чн ,

       где y оо – общее решение уравнения (25),
        y чн – частное решение уравнения (24).



     3.4.1 Нахождение общего решения однородного уравнения

       Теорема 20 (о структуре общего решения линейного однородного
уравнения). Если у1(х), у2(х) – два частных линейно независимых решения
уравнения (25), то yоо = c1 y1 ( x ) + c2 y 2 ( x ) , где c1 , c 2 − const .
         Будем находить частные решения у1(х) и у2(х) в виде y = e kx , (k = const),
y ′= ke kx , y ′′= k 2 e kx .
       Из уравнения (25) ⇔ k 2 e kx + pke kx + qe kx = 0, ∀x ∈ R : e kx ≠ 0 ⇒

                                     k 2 + pk + q = 0 .                                (26)


                                                                                          60

Страницы