Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 59 стр.

        c1
Так как    − const , то её обычно обозначают вновь с1, и окончательно общее
        2
решение уравнения выглядит так:

                                          x3
                                       y=    + c1 x 2 + c 2 .
                                          3

        3. F ( x, y ′, y ′′ ) = 0 – уравнение второго порядка не содержит в явном
виде х, приводится к уравнению первого порядка заменой y ′= p( y ).

         d ( p ( у ) ) dp dy dp
y ′′ =                =   ⋅  =   ⋅ p = p ′y ⋅ p.
             dx         dy dx dy

F ( y , y ′, y ′′) = 0 ⇔ F ( y , p, p ′y ) = 0     –   уравнение     первого      порядка   с
неизвестной функцией р(у).

           Задача 6. Решить задачу Коши
            y y ′′ = ( y ′ )2 ,
           
            y (0 ) = 1,
            y ′(0 ) = 2.
           
                          y ′( x ) = p ( y ) 
                                             
           Решение: Пусть             dp  – подставляем в уравнение.
                          y ′′( x ) =     ⋅p
                                      dy 
  dp
y    p = p 2 – уравнение с разделяющимися переменными.
  dy
 dp     dy
∫ p ∫ y , y ≠ 0, p ≠ 0 .
     =


ln p = ln y + ln c1        ⇒    p = c1 y    ⇒      p = ± c1 y ⇒    y ′ = c1 y .

Для того чтобы найти c1 , подставим в промежуточное решение уравнения
начальные условия y ′(0 ) = 2, y (0 ) = 1 : 2 = c11 , следовательно, c1 = 2 . Таким,
образом, y ′ = 2 y – уравнение с разделяющимися переменными.

dy                      dy
dx
   = 2y ⇒           ∫    y ∫
                           = 2dx, y ≠ 0 ; ⇒ ln y = 2 x + c1 ⇒ .




                                                                                            59