Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

(
)
()
′
=
′
=
.
,
00
00
yxy
yxy
(23)
Теорема 19 (существования и единственности задачи Коши). Если
функция
непрерывна вместе со своими частными
производными
(
yyxfy
′
=
′′
,,
()
yyxf
y
′′
,,,
)
(
)
yyxf
y
′
′
′
,, в некоторой открытой области
3
R
D ⊂ ,
содержащей точку
(
00
,, yy
)
00
xM
′
, то существует единственная функция
()
xy
ϕ
= , удовлетворяющая как уравнению (22), так и начальным условиям (23).
Определение: Функция вида
(
)
21
,, ccxy
ϕ
=
, где и
1
c constc
−
2
,
называется общим решением уравнения (22), если:
1)
(
2121
,,,, ccxcc
)
ϕ
∀ – удовлетворяет уравнению (22);
2) при любых начальных условиях
(
)
()
′
=
′
=
00
00
yxy
yxy
таких, что точка
-области существования решения задачи Коши.
(
DyyxM ∈
′
0000
,,
)
)
(
0
2
0
1
0
22
0
11
,,: ccx
cc
cc
ϕ
=
=
∃
– удовлетворяет условиям (23).
Определение: Решение, которое получается из общего при
подстановке в него конкретных значений
с
1
и с
2
называется частным
решением уравнения (22).
Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
1.
– общее решение находится непосредственным
интегрированием дважды.
()
xfy =
′′
Задача 4. Найти общее решение уравнения .
x
exy
2
sin +=
′′
Решение:
x
ex
dx
yd
2
sin +=
′
– уравнение с разделяющимися переменными.
(
)
∫∫
+=
′
dxexyd
x2
sin
1
2
2
1
cos cexy
x
++−=
′
.
1
2
2
1
cos
cex
dx
dy
x
++−= – уравнение с разделяющимися переменными.
57
                                         y(x0 ) = y 0 ,
                                                                                       (23)
                                         y ′( x 0 ) = y 0′ .

      Теорема 19 (существования и единственности задачи Коши). Если
функция   y ′′ = f ( x, y, y ′ ) непрерывна вместе со своими частными
производными f y′ ( x, y, y ′ ) , f y′′ ( x, y, y ′) в некоторой открытой области D ⊂ R3 ,
содержащей точку M 0 ( x 0 , y 0 , y 0′ ) , то существует единственная функция
y = ϕ( x) , удовлетворяющая как уравнению (22), так и начальным условиям (23).

       Определение: Функция вида y = ϕ ( x, c1 , c 2 ) , где c1 и c 2 − const ,
называется общим решением уравнения (22), если:
1) ∀ c1 , c 2 , ϕ ( x, c1 , c 2 ) – удовлетворяет уравнению (22);
                                                     y(x0 ) = y 0
2) при       любых   начальных      условиях                          таких, что      точка
                                                     y ′( x 0 ) = y ′
                                                                     0
   M 0 ( x 0 , y 0 , y 0′ ) ∈ D -области существования решения задачи Коши.

          c1 = c10
         ∃
                     0
                         (          )
                       : ϕ x, c10 , c 20 – удовлетворяет условиям (23).
           c 2 = c 2

       Определение: Решение, которое получается из общего при
подстановке в него конкретных значений с1 и с2 называется частным
решением уравнения (22).

             Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

       1. y ′′= f ( x ) – общее           решение               находится   непосредственным
интегрированием дважды.

         Задача 4. Найти общее решение уравнения y ′′= sin x + e 2 x .

         Решение:
dy ′
     = sin x + e 2 x – уравнение с разделяющимися переменными.
dx

         (           )
∫ dy ′ = ∫ sin x + e dx
                    2x
                                y ′ = − cos x +
                                                  1 2x
                                                  2
                                                    e + c1 .

dy            1
   = − cos x + e 2 x + c1 – уравнение с разделяющимися переменными.
dx            2

                                                                                          57

Страницы