Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

() () () () () ()
(
)
(
)
xgxvxuxpxvxuxvxu
=
⋅
⋅+
′
⋅+⋅
′
,
() () ()
(
)()
(
)
[]
(
)
xgxvxpxvxuxvxu
=
⋅+
′
⋅+⋅
′
Будем считать, что из двух функций u(x) и v(x), которые нам предстоит
найти,
v(x) такова, что обращает выражение )()()( xvxpxv
+
′
в ноль, тогда
последнее уравнение превращается в систему двух дифференциальных
уравнений, каждое из которых является уравнением с разделяющимися
переменными.
(
)
(
)
(
)
() () ()
)2(
)1(
,0
∗
∗
=⋅
′
=⋅+
′
xgxvxu
xvxpxv
(20)
Для уравнения (1
*
) будем находить частное решение, для (2
*
) – общее
решение.
1)
() ()
⇒⋅−= xvxp
dx
dv
() ()
⇒−=⇒−= dxxp
v
dv
dxxp
v
dv
()
⇒−=
∫∫
dxxp
v
dv
.
()
∫
−= dxxpvln , полагаем С = 0;
(
)
dxxp
e
v
∫−
=
– подставляем в уравнение (2
*
)
системы (20).
2)
()
()
⇒=
∫−
xge
dx
du
dxxp
(
)
(
)
⇒⋅=
∫
dxexgdu
dxxp
,
()
()
⇒⋅=
∫∫
∫
dxexgdu
dxxp
()
()
Cdxexgu
dxxp
+⋅=
∫
⋅∫
.
() ()
()
[
]
(
)
dxxpdxxp
eCdxexgxy
∫−∫
⋅+⋅=
∫
– общее решение уравнения (19).
Задача 3. Решить задачу Коши:
=
⋅=−
′
.0
6
,
cos
2
π
y
exctg
x
y
y
xtg
Решение: Делаем замену
(
)
(
)
(
)
xvxuxy
⋅
=
, vuvuy
′
+
′
=
′
– подставляем
в уравнение:
xtg
exctg
x
uv
vuvu ⋅=−
′
+
′
2
cos
,
55
u ′( x ) ⋅ v ( x ) + u ( x ) ⋅ v ′( x ) + p ( x ) ⋅ u ( x ) ⋅ v ( x ) = g ( x ) ,

u ′( x ) ⋅ v ( x ) + u ( x ) ⋅ [v ′( x ) + p ( x ) ⋅ v ( x )] = g ( x )

       Будем считать, что из двух функций u(x) и v(x), которые нам предстоит
найти, v(x) такова, что обращает выражение v ′( x ) + p( x ) v ( x ) в ноль, тогда
последнее уравнение превращается в систему двух дифференциальных
уравнений, каждое из которых является уравнением с разделяющимися
переменными.

                                                       v ′( x ) + p ( x ) ⋅ v ( x ) = 0, (1∗ )
                                                                                                                                  (20)
                                                       u ′( x ) ⋅ v ( x ) = g ( x )      (2 ∗ )

      Для уравнения (1*) будем находить частное решение, для (2*) – общее
решение.
                 dv                       dv                dv                   dv
            1)      = − p ( x ) ⋅v ( x ) ⇒ = − p ( x ) dx ⇒    = − p ( x ) dx ⇒ ∫ = − ∫ p ( x ) dx ⇒ .
                 dx                        v                 v                    v

ln v = − ∫ p( x ) dx , полагаем С = 0; v = e − ∫ p ( x ) dx – подставляем в уравнение (2*)
системы (20).
               du − ∫ p ( x ) dx
         2)         e             = g ( x ) ⇒ du = g ( x ) ⋅ e ∫ p ( x ) dx dx ⇒            ∫ du = ∫ g (x ) ⋅ e
                                                                                                                  ∫ p ( x ) dx
                                                                                                                                 dx ⇒ ,
               dx
u = ∫ g ( x ) ⋅ e ∫ p ( x )⋅dx dx + C .

             y (x ) =   [∫ g (x ) ⋅ e   ∫ p ( x ) dx
                                                                ]
                                                       dx + C ⋅ e − ∫ p ( x ) dx – общее решение уравнения (19).

            Задача 3. Решить задачу Коши:

                        y                tg x
              y′ −       2
                              = ctg x ⋅ e      ,
                     cos   x
             
              y π  = 0.
               6 

       Решение: Делаем замену y ( x ) = u ( x ) ⋅ v ( x ) , y ′ = u ′v + u v ′ – подставляем
в уравнение:
                     uv
u ′ v + u v ′−          2
                             = ctg x ⋅ e tg x ,
                  cos x




                                                                                                                                     55

Страницы