Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Вид общего интеграла можно упростить, если произвольную
постоянную
С ввести в общий интеграл в логарифмическом виде:
C
e
y
Cey
x
x
ln
9
1
lnln)9ln()1ln(
2
1
2
2
=
+
+
⇒=+−+
C
e
y
x
=
+
+
9
1
2
– еще один вид общего решения дифференциального уравнения.
3.2.1.2 Однородное дифференциальное уравнение первого порядка
Уравнение вида
=
′
x
y
fy
(18)
называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка.
Общее решение этого уравнения будем находить с помощью замены
,
() ()
xxuxy =
(
)(
xuxxuy
′
+=
′
)
.
Из уравнения (18) следует:
() () ()
ufxuxxu =
′
+
()
uuf
dx
du
x −=
()
[
dxuufdux −=
]
– уравнение с разделяющимися переменными.
()
()
.0,0, ≠≠−=
−
xuuf
x
dx
uuf
dU
()
C
x
dx
uuf
du
+=
−
∫∫
()
C
x
dx
uuf
du
=−
−
∫∫
– общий интеграл уравнения (18).
Задача 2. Найти все решения уравнения
x
yyx
y
+−
=
′
22
, 0≠
x
.
53
       Вид общего интеграла можно упростить, если произвольную
постоянную С ввести в общий интеграл в логарифмическом виде:

1         2        x                  1+ y2
  ln(1 + y ) − ln(e + 9) = ln C ⇒ ln x      = ln C
2                                    e +9

    1 + y2
             = C – еще один вид общего решения дифференциального уравнения.
    ex + 9


        3.2.1.2 Однородное дифференциальное уравнение первого порядка


             Уравнение вида
                                                         y
                                                 y′ = f                               (18)
                                                         x

называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

           Общее решение этого уравнения будем находить с помощью замены
y ( x ) = xu ( x ) , y ′ = u ( x ) + xu ′( x ) .

             Из уравнения (18) следует:
u ( x ) + xu ′( x ) = f (u )

    du
x      = f (u ) − u
    dx

x du = [ f (u ) − u ] dx – уравнение с разделяющимися переменными.

   dU      dx
          = ,           f (u ) − u ≠ 0, x ≠ 0.
f (u ) − u x

        du         dx
∫    f (u ) − u
                =∫
                    x
                      +C


        du         dx
∫    f (u ) − u
                −∫
                    x
                      = C – общий интеграл уравнения (18).


                                                               x2 − y2 + y
             Задача 2. Найти все решения уравнения y ′ =                     , x ≠ 0.
                                                                   x

                                                                                          53

Страницы