Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Отметим следующее: у дифференциального уравнения (16) кроме
вышеназванных решений существуют ещё особые решения и решения,
потерянные в результате алгебраических преобразований уравнения.
3.2.1 Некоторые виды дифференциальных уравнений первого
порядка
3.2.1.1 Дифференциальное уравнение с разделяющимися
переменными
Уравнение вида
0)()()()(
2211
=
+
dyyNxMdxyNxM (17)
называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
Запишем уравнение (17) в виде dyyNxMdxyNxM )()()()(
2211
−
=
, делим обе части
дифференциального уравнения на
M , считая, что ,
)(),(
12
yNx (
2
xM 0 0)(
1
) ≠
≠
yN :
dy
yN
yN
dx
xM
xM
)(
)(
)(
)(
1
2
2
1
−= – уравнение с разделенными переменными.
Интегрируем обе части этого уравнения. Получим:
Cdy
yN
yN
dx
xM
xM
+−=
∫∫
)(
)(
)(
)(
1
2
2
1
;
Cdy
yN
yN
dx
xM
xM
=+
∫∫
)(
)(
)(
)(
1
2
2
1
– общий интеграл уравнения (17).
Задача 1.
Найти общее решение уравнения
(
)
(
)
019
2
=+⋅−′⋅+ yeyyey
xx
.
Решение:
() ()
(
)
(
)
dxyedyeyye
dx
dy
ey
xxxx 22
1919 +⋅=+⋅⇒+=+
()()
Cey
e
dxe
y
dyy
e
dxe
y
dyy
x
x
x
x
x
++=+⇒
+
=
+
⇒
+
=
+
∫∫
9ln1ln
2
1
9191
2
22
Cey
x
=+−+ )9ln()1ln(
2
1
2
– общий интеграл дифференциального уравнения.
52
       Отметим следующее: у дифференциального уравнения (16) кроме
вышеназванных решений существуют ещё особые решения и решения,
потерянные в результате алгебраических преобразований уравнения.
     3.2.1 Некоторые виды дифференциальных уравнений первого
порядка


     3.2.1.1 Дифференциальное                             уравнение                с           разделяющимися
переменными


        Уравнение вида
                                      M 1 ( x ) N 1 ( y ) dx + M 2 ( x ) N 2 ( y ) dy = 0                  (17)

называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
Запишем уравнение (17) в виде M 1 ( x ) N 1 ( y ) dx = − M 2 ( x ) N 2 ( y ) dy , делим обе части
дифференциального уравнения на M 2 ( x), N1 ( y ) , считая, что M 2 ( x) ≠ 0 , N 1 ( y ) ≠ 0 :
 M 1 ( x)       N ( y)
          dx = − 2      dy – уравнение с разделенными переменными.
M 2 ( x)        N1 ( y)
Интегрируем обе части этого уравнения. Получим:

  M 1 ( x)          N 2 ( y)
∫ M 2 ( x) dx = − ∫ N1 ( y) dy + C ;

  M 1 ( x)        N 2 ( y)
∫ M 2 ( x) dx + ∫ N 1 ( y ) dy = C – общий интеграл уравнения (17).

                                                                           (
        Задача 1. Найти общее решение уравнения y e x +9 y ⋅ y′−e x ⋅ 1 + y 2 =0 .     )           (   )
        Решение:

  (
y ex + 9    ) dy
              dx
                 = e x (1 + y 2 )          ⇒         (         )               (
                                                  y ⋅ e x + 9 dy = e x ⋅ 1 + y 2 dx        )
 y dy
        =
             e x dx
                       ⇒
                                    y dy
                             ∫ 1+ y2 = ∫ ex + 9
                                               e x dx
                                                          ⇒
                                                                   1
                                                                       (           ) (
                                                                     ln 1 + y 2 = ln e x + 9 + C   )
1+ y2       ex + 9                                                 2

1
  ln(1 + y 2 ) − ln(e x + 9) = C – общий интеграл дифференциального уравнения.
2



                                                                                                             52

Страницы