Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 50 стр.

     3 Дифференциальные уравнения

     3.1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений


       Определение:     Дифференциальными       уравнениями   называются
уравнения, которые помимо неизвестных функций и аргументов, от которых
они зависят, содержат производные этих функций.
       Определение: Порядок дифференциального уравнения определяется
порядком старшей производной, входящей в это уравнение.
       Определение: Если функции, входящие в дифференциальное уравнение,
зависят от одной независимой переменной, то уравнение называется
обыкновенным; если функции зависят от нескольких независимых переменных,
то дифференциальное уравнение называется уравнением в частных
производных.
       Определение: Всякая функция y = ϕ (x) , обращающая обыкновенное
                                              (            )
дифференциальное уравнение вида F x, y , y 1 , ..., y ( n ) = 0   в тождество,
называется решением этого уравнения.

     3.2 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка


                                F ( x, y, y ′) = 0 ,                      (15)

       – обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка.

                                  y ′ = f ( x, y )                        (16)

       – уравнение, разрешённое относительно производной.

               Задача Коши для уравнения первого порядка:
требуется найти решение уравнения y ′ = f ( x, y ) , удовлетворяющее начальному
условию y ( x 0 ) = y 0 .
       С геометрической точки зрения поставленная задача означает, что
нужно найти функцию y = ϕ (x) , удовлетворяющую уравнению (16), график
которой проходит через точку M 0 ( x 0 , y 0 ) ∈ R 2 .
       Для того чтобы ответить на вопрос о существовании решения задачи
Коши для уравнения (16), построим открытую область D ⊂ R 2 , содержащую
точку М0(х0, у0), в которой определена функция f(x, y) из уравнения (16).




                                                                             50