Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

у
ду
zд
дудх
zд
х
дх
zд
12,0,6
2
22
2
2
−=== .
5. Вычисляем значения вторых производных в каждой критической точке и
составляем число ∆:
1) 12;0;6
1
2
2
1
2
1
2
2
−===
М
ММ
ду
zд
дудх
zд
дх
zд
;
()
72
120
06
1
−=
−
=∆ М .
Экстремума в точке М
1
нет.
2)
12,0,6
2
2
2
2
2
2
2
2
===
М
ММ
ду
zд
дудх
zд
дх
zд
;
()
072
120
06
2
>==∆ M .
В точке М
2
(1; –1) функция имеет локальный минимум, т.к. 0
2
2
2
>
М
дх
zд
.
3)
12,0,6
3
2
3
2
3
2
2
−==−=
МММ
ду
zд
дудх
zд
дх
zд
;
072
120
06
)(
3
>=
−
−
=∆ M .
В точке М
3
(–1; 1) функция имеет локальный максимум, т.к. 0
3
2
2
<
M
дх
zд
.
4) 12,0,6
4
2
2
4
2
4
2
2
=
∂
∂
=−=
M
МM
y
z
дудх
zд
дх
zд
;
72
120
06
)(
4
−=
−
=∆ М .
В точке М
4
экстремума нет.
Получили: Z
min
= Z(1; –1) = – 6, Z
max
= Z(–1, 1) = 6.
49
   д2 z                    д2 z              д2 z
          = 6 х,                = 0,                = −12 у .
  дх 2                    дх ду              ду 2

5. Вычисляем значения вторых производных в каждой критической точке и
   составляем число ∆:

       д2 z                   д2 z                  д2 z                                     6  0
  1)               = 6;                   = 0;                  = − 12 ;       ∆ (М 1 ) =           = −72 .
       дх 2                  дх ду                  ду 2                                     0 − 12
              М1                     М1                    М1

     Экстремума в точке М1 нет.
     д2 z          д2 z                             д2 z                                    6 0
  2)    2
           = 6,           = 0,                                  = 12 ;        ∆ (M 2 ) =         = 72 > 0 .
     дх М      2
                  дх ду М              2
                                                    ду 2   М2
                                                                                            0 12

                                                                                               д2 z
       В точке М2(1; –1) функция имеет локальный минимум, т.к.                                             > 0.
                                                                                               дх 2   М2


       д2 z                д2 z                  д2 z                                       −6 0
  3)               = − 6,                   = 0,                = − 12 ; ∆( M 3 ) =                = 72 > 0 .
       дх 2               дх ду                  ду                                         0 − 12
              М3                       М3                  М3


                                                                                                 д2 z
       В точке М3(–1; 1) функция имеет локальный максимум, т.к.                                              < 0.
                                                                                                 дх 2   M3


       д2 z                     д2 z                   ∂2z                                    −6 0
  4)               = − 6,                    = 0,                    = 12 ;    ∆( М 4 ) =          = −72 .
       дх 2   M4
                               дх ду   М4
                                                       ∂y 2     M4
                                                                                              0 12

       В точке М4 экстремума нет.

  Получили:           Zmin = Z(1; –1) = – 6,           Zmax = Z(–1, 1) = 6.




                                                                                                                  49

Страницы