Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 51 стр.

      Теорема 18 (существования и единственности решения задачи Коши).
Если функция f(x, y) непрерывна вместе со своей частной производной f ′ ( x, y )
                                                                        y
в некоторой открытой области D, содержащей точку М0(х0, у0), то существует
единственная функция y = ϕ (x) , удовлетворяющая как уравнению (16), так и
начальному условию y(x0 ) = y0 .



                                     М0(х0,у0)
                                                 D




                                  Рисунок 6.
       Вывод из теоремы: Так как в открытой области D, удовлетворяются
условия теоремы в каждой точке, то через любую точку D проходит кривая,
уравнение которой есть решение задачи Коши с соответствующим начальным
условием; следовательно, дифференциальное уравнение вида y′ = f (x, y) в
области D имеет бесчисленное множество решений, которое можно объединить
одним названием.
         Определение: Функция y = ϕ ( x, c ) , где c = const , называется общим
решением дифференциального уравнения y ′ = f ( x, y ) , если:
1) ∀c : ϕ ( x, c ) удовлетворяет уравнению (16);
2) для любого начального условия у( x0 ) = у0 такого, что M ( x 0 , y 0 ) ∈ D –
   открытой области, в которой выполняется условие теоремы существования и
   единственности решения задачи Коши ∃ c = c 0 :ϕ ( x 0 , c 0 ) = y 0 .

        Определение: Общее решение уравнения (16), найденное в неявном
виде ψ ( x, y ) = c называется общим интегралом уравнения (16).
       Определение: Решение дифференциального уравнения (16), которое
получается из общего при подстановке конкретного значения с, называется
частным решением уравнения (16) или частным интегралом.

       Из этого определения следует, что решить задачу Коши для уравнения
(16) и найти его частное решение с соответствующим начальным условием,
задачи тождественные.

                                                                             51