Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

jiij
дхдх
Uд
дх
дU
дх
д
2
=
⋅
(
)
kjiji ,1,,
=
≠
– это смешанные частные производные второго порядка.
Пример 17. Найти все частные производные второго порядка функции
z
= х
5
+ 3х
2
у
3
+ 4у
5
+ 5.
Решение: Найдём
42234
209,65 yyx
ду
дz
xyx
дх
дz
+=+=
, тогда:
;18
;620
2
2
33
2
2
ху
дх
дz
ду
д
дудх
zд
yx
дх
дz
дх
д
дх
zд
=
⋅=
+=
⋅=
.8018
;18
32
2
2
2
2
уух
ду
zд
ху
ду
дz
дх
д
дхду
zд
+=
=
⋅=
Заметим, что
дхду
zд
дудх
zд
22
= .
Теорема 16. Если смешанные производные
дудх
Uд
2
и
дzду
Uд
2
существуют
в
и непрерывны в самой точке М
(
0
МО
δ
)
0
, то они равны между собой в этой
точке, т.е.
00
22
MM
дzду
Uд
дyдx
Uд
= .
2.6.4 Достаточные условия существования экстремума функции двух
переменных
С помощью необходимого условия экстремума мы умеем находить
точки возможного экстремума. Теперь из этих точек нужно отобрать точки
локального
экстремума. Для этого служат достаточные условия экстремума.
Теорема 17. Пусть функция z = f(x, y) дифференцируема в окрестности
точки М
0
(х
0
, у
0
) и дважды дифференцируема в самой точке М
0
, причем М
0
–
точка возможного экстремума. Тогда:
47
                         д         дU     д 2U
                               ⋅      =               (i ≠   j, i, j = 1, k )
                        дх j       i  дхi дх j
                                    дх

 – это смешанные частные производные второго порядка.

          Пример 17. Найти все частные производные второго порядка функции
z = х + 3х у + 4у5 + 5.
   5    2 3




                                   дz                    дz
        Решение: Найдём               = 5 x 4 + 6 xy 3 ,    = 9 x 2 y 2 + 20 y 4 , тогда:
                                   дх                    ду

 д2 z   д  дz                                   д2 z   д  дz 
      =   ⋅   = 20 x 3 + 6 y 3 ;                     =   ⋅   = 18 ху 2 ;
 дх 2   дх  дх                                 ду дх дх  ду 


  д2 z   д  дz                                 д2 z
       =   ⋅   = 18 ху 2 ;                          2
                                                          = 18 х 2 у + 80 у 3 .
 дх ду ду  дх                                  ду

               д2 z   д2 z
 Заметим, что       =      .
              дх ду ду дх

                                                   д 2U    д 2U
         Теорема 16. Если смешанные производные          и       существуют
                                                   дх ду   ду дz
 в Оδ (М 0 ) и непрерывны в самой точке М0, то они равны между собой в этой
 точке, т.е.
                              д 2U      д 2U
                                      =         .
                              дx дy M   ду дz M
                                             0                    0




      2.6.4 Достаточные условия существования экстремума функции двух
 переменных


        С помощью необходимого условия экстремума мы умеем находить
 точки возможного экстремума. Теперь из этих точек нужно отобрать точки
 локального экстремума. Для этого служат достаточные условия экстремума.
        Теорема 17. Пусть функция z = f(x, y) дифференцируема в окрестности
 точки М0(х0, у0) и дважды дифференцируема в самой точке М0, причем М0 –
 точка возможного экстремума. Тогда:


                                                                                            47

Страницы