Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Из уравнения (15) следует, что уравнение касательной плоскости в
точке экстремума будет z
– z
0
= 0, т.е. z = z
0
– это плоскость, параллельная
плоскости хоу.
Вывод: Если в точке экстремума существует касательная плоскость, то
эта плоскость параллельна плоскости хоу.
Замечания:
1 Функция может иметь экстремум в точках, в которых, по крайней
мере, одна из частных производных не существует.
2 Если функция U
= f(x
1
,
x
2
, …, x
n
) имеет в точке
(
)
00
2
0
10
...,,,
n
ххxМ
экстремум и дифференцируема в этой точке, то
0
)(
...
)()(
)(
0
2
2
0
1
1
0
0
=⋅++⋅+⋅=
n
n
dx
дх
MдU
dx
дх
MдU
dx
дх
MдU
MdU
при любых значениях дифференциалов независимых переменных.
Точки, в которых все частные производные функции первого порядка
равны нулю или хотя бы одна из них не существует, называется критическими
точками или точками возможного экстремума.
Функция может иметь экстремум только в критической точке. Обратное
утверждение неверно, т.е. не всякая критическая точка является точкой
экстремума.
2.6.3 Производные высших порядков функции нескольких
переменных
Пусть функция U
= f(x
1
,
x
2
, …, x
n
) определена в окрестности точки
М
0
(
)
00
2
0
1
...,,,
n
ххx
и пусть в каждой точке этой окрестности существуют все
частные производные первого порядка ,...,,,
21 n
дх
дU
дх
дU
дх
дU
которые
представляют собой функции переменных x
1
, x
2
, …, x
n
, определённые в
. От этих функций можно также находить частные производные.
Получим
()
0
М
δ
О
2
2
i
ii
дх
Uд
дx
дU
дх
д
=
⋅
– частные производные второго порядка по переменной х
i
(i = 1,n).
46
       Из уравнения (15) следует, что уравнение касательной плоскости в
точке экстремума будет z – z0 = 0, т.е. z = z0 – это плоскость, параллельная
плоскости хоу.
       Вывод: Если в точке экстремума существует касательная плоскость, то
эта плоскость параллельна плоскости хоу.

       Замечания:
       1 Функция может иметь экстремум в точках, в которых, по крайней
мере, одна из частных производных не существует.
                                                                             (
       2 Если функция U = f(x1, x2, …, xn) имеет в точке М 0 x10 , х 20 , ..., х n0       )
экстремум и дифференцируема в этой точке, то

                       дU (M 0)         дU (M 0)               дU (M 0)
          dU (M 0) =            ⋅ dx1 +          ⋅ dx2 + ... +          ⋅ dxn = 0
                         дх1              дх2                    дхn

при любых значениях дифференциалов независимых переменных.

       Точки, в которых все частные производные функции первого порядка
равны нулю или хотя бы одна из них не существует, называется критическими
точками или точками возможного экстремума.
       Функция может иметь экстремум только в критической точке. Обратное
утверждение неверно, т.е. не всякая критическая точка является точкой
экстремума.


     2.6.3 Производные             высших        порядков       функции          нескольких
переменных


         Пусть функция U = f(x1, x2, …, xn) определена в окрестности точки
   (              )
М0 x10 , х 20 , ..., х n0 и пусть в каждой точке этой окрестности существуют все
                                                    дU дU           дU
частные производные первого порядка                     ,    , ...,      , которые
                                                    дх1 дх 2        дх n
представляют собой функции переменных x1, x2, …, xn, определённые в
Оδ (М 0 ) . От этих функций можно также находить частные производные.
Получим

                                     д        дU  д 2U
                                          ⋅      = 2
                                    дхi        дx
                                              i  дхi

– частные производные второго порядка по переменной хi (i = 1,n).


                                                                                         46

Страницы