Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Свойство 1:
()
(
0
0
0
MUgrad
MU
⋅=
∂
∂
λ
λ
)
, т.е. производная функции U в
точке М
0
по направлению λ равна скалярному произведению единичного
вектора
0
λ направления λ и вектора-градиента функции в точке М
0
.
Свойство 2: Производная функции в точке принимает своё наибольшее
значение по направлению градиента функции в этой точке.
Отсюда вывод:
Производная функции в точке М
0
принимает наибольшее значение по
направлению градиента функции в этой точке и
(
)
()
0
0
max MgradU
д
MдU
=
λ
.
Свойство 3: Градиент указывает направление наибольшей скорости
изменения функции в точке и величина этого изменения равна модулю
градиента.
Пример 16. Найти производную скалярного поля U = хуz в точке
М
0
(1;2;5) по направлению нормали к поверхности S: z = x
2
+ y
2
, образующей
острый угол с осью oz.
Решение: Заметим, что точка М
0
принадлежит поверхности S. Найдём
вектор нормали к этой поверхности в точке М
0
.
=
дz
MдF
ду
MдF
дх
MдF
n
)(
,
)(
,
)(
000
.
У нас F(x, y, z) = х
2
+ у
2
– z. Найдём
.1
)(
,42
)(
,22
)(
000
00
−=====
дz
MдF
у
ду
MдF
х
дх
MдF
ММ
Имеем
()
,1,4,2 −== nλ 211164 =++=λ .
Найдём
21
1
cos;
21
4
cos;
21
2
cos
−===
γβα
.
Найдём значение частных производных функции U в точке М
0
:
.221;551;1052
0
0
0
0
0
0
=⋅==
∂
∂
=⋅==
∂
∂
=⋅==
∂
∂
M
M
M
M
M
М
xy
z
U
xz
y
U
yz
x
U
44
                    ∂U (M 0 )
          Свойство 1:         = λ0 ⋅ grad U (M 0 ) , т.е. производная функции U в
                       ∂λ
точке М0 по направлению λ равна скалярному произведению единичного
вектора λ0 направления λ и вектора-градиента функции в точке М0.

       Свойство 2: Производная функции в точке принимает своё наибольшее
значение по направлению градиента функции в этой точке.
       Отсюда вывод:
       Производная функции в точке М0 принимает наибольшее значение по
                                                 дU (M 0 )
направлению градиента функции в этой точке и max           = gradU (M 0 ) .
                                                    дλ
       Свойство 3: Градиент указывает направление наибольшей скорости
изменения функции в точке и величина этого изменения равна модулю
градиента.

       Пример 16. Найти производную скалярного поля U = хуz в точке
М0(1;2;5) по направлению нормали к поверхности S: z = x2 + y2, образующей
острый угол с осью oz.

       Решение: Заметим, что точка М0 принадлежит поверхности S. Найдём
вектор нормали к этой поверхности в точке М0.

      дF ( M 0 ) дF ( M 0 ) дF ( M 0 ) 
n =            ,          ,           .
      дх            ду         дz 

У нас F(x, y, z) = х2 + у2 – z. Найдём

дF ( M 0 )                            дF ( M 0 )                        дF ( M 0 )
           = 2 х М = 2,                          = 2у   М0
                                                             = 4,                  = −1 .
   дх             0                      ду                                дz

Имеем        λ = n = (2, 4, − 1),            λ = 4 + 16 + 1 = 21 .

                             2                          4                        1
Найдём           cos α =          ;       cos β =            ;       cos γ = −        .
                             21                         21                       21

Найдём значение частных производных функции U в точке М0:

∂U                                        ∂U                                     ∂U
          = yz   M0
                      = 2 ⋅ 5 = 10;                 = xz M = 1 ⋅ 5 = 5;                    = xy   M0
                                                                                                       = 1 ⋅ 2 = 2.
∂x   М0                                   ∂y   M0
                                                                 0               ∂z   M0



                                                                                                                 44

Страницы