Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Решение: Запишем уравнение поверхности в виде .0=− z
x
y
arctg
Здесь
F(x, y, z) = z
x
y
arctg
− . Найдём
()
;
2
1
1
2
1
1
1
0
0
2
2
2
−=−⋅=
−⋅
+
=
∂
∂
M
М
x
y
x
y
x
F
;
2
11
1
1
0
0
2
2
=⋅
+
=
∂
∂
M
M
x
x
y
y
F
.1
0
−=
∂
∂
M
z
F
Касательная плоскость имеет уравнение
() ()
0
4
11
2
1
1
2
1
=
−−−⋅+−⋅−
π
zух или – 0
2
211 =+−−++
π
zух ,
Окончательно:
.0
2
2 =−+−
π
zyx Уравнение нормали к поверхности будет
.
1
4
2
1
1
2
1
1
−
−
=
−
=
−
−
π
z
y
x
2.5.6 Градиент функции
Пусть функция U = f(x, y, z) дифференцируема в точке М
0
(x
0
, y
0
, z
0
).
Выбирая различные направления в точке М
0
будем вычислять
производные функции по этим направлениям. Одно из этих направлений
получило особое название – градиент функции в точке.
Определение: Вектор
k
дz
MдU
j
ду
MдU
i
дх
MдU
MgradU ⋅+⋅+⋅=
)()()(
)(
000
0
(13)
называется градиентом функции U = f(x, y, z) в точке М
0
.
Изучим свойства градиента:
43
                                                                                 y
          Решение: Запишем уравнение поверхности в виде arctg                      − z = 0.
                                                                                 x
                               y
Здесь F(x, y, z) = arctg         − z . Найдём
                               x

∂F             1          y      1             1
          =            ⋅  −    =   ⋅ (− 1) = −   ;
∂x   М0            y 2  x 2  M0 2              2
              1+
            x2
∂F         1     1                 1         ∂F
       =       ⋅               =     ;                 = − 1.
∂y M        y x                    2         ∂z
     0   1+ 2             M0                      M0
            x2

Касательная плоскость имеет уравнение

    1             1                  π                                π
−     ⋅ ( х − 1) + ⋅ ( у − 1) − 1 z −  = 0 или – х + 1 + у − 1 − 2 z + = 0 ,
    2             2                  4                                2

                                         π
Окончательно: x − y + 2 z −                  = 0. Уравнение нормали к поверхности будет
                                         2
                          π
                     z−
x −1 y −1     4.
    =     =
  1    1    −1
−
  2    2


        2.5.6 Градиент функции


       Пусть функция U = f(x, y, z) дифференцируема в точке М0(x0, y0, z0).
       Выбирая различные направления в точке М0 будем вычислять
производные функции по этим направлениям. Одно из этих направлений
получило особое название – градиент функции в точке.

          Определение: Вектор

                                         дU ( M 0 )      дU ( M 0 )      дU ( M 0 )
                     gradU ( M 0 ) =                ⋅i +            ⋅ j+            ⋅k        (13)
                                            дх              ду              дz

называется градиентом функции U = f(x, y, z) в точке М0.

          Изучим свойства градиента:

                                                                                                43

Страницы