Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

дх
MдU
дz
MдU
ду
MдU
дх
MдU
д
MдU )(
0
)(
0
)(
1
)()(
=⋅+⋅+⋅=
λ
,
т.е.
λд
MдU )(
равна частной производной функции U(х, у, z) по х.
Значит, частная производная функции по х характеризует скорость изменения
функции в положительном направлении оси ох.
Аналогичный вывод можно сделать в отношении других осей координат.
Пример 14. Найти производную функции U = х
2
+ у
2
+ z
2
в точке М
0
(0,1,1)
по направлению вектора
.22 kji +−=λ
Решение: По формуле (11) имеем:
γβα
cos
)(
cos
)(
cos
)()(
0000
⋅+⋅+⋅=
zд
MдU
yд
MдU
хд
MдU
д
MдU
λ
.
Найдём направляющие косинусы вектора
λ
:
()
3122
22
=+−+=λ , тогда
3
1
cos,
3
2
cos,
3
2
cos =−==
γβα
.
Вычислим значение частных производных в точке
М
0
(0,1,1):
22;22;02
0
0
0
0
0
0
==
∂
∂
==
∂
∂
==
∂
∂
M
М
М
М
М
M
z
z
U
у
y
U
х
x
U
.
3
2
2
3
1
2
3
2
3
2
0
)(
0
−=⋅+⋅
−+⋅=
λ
д
MдU
. Получим
3
2
)(
0
−=
λ
д
MдU
.
Знак минус говорит о том, что в точке
М
0
(0,1,1) функция U = х
2
+ у
2
+ z
2
убывает в направлении
λ со скоростью
3
2
.
2.5.5 Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Пусть поверхность задана уравнением
F(x, y, z) = 0 и пусть М
0
(x
0
, y
0
, z
0
)
некоторая точка этой поверхности.
41
дU ( M ) дU ( M )      дU ( M )     дU ( M )     дU ( M )
        =         ⋅1 +          ⋅0+          ⋅0=          ,
  дλ       дх            ду           дz           дх

    дU ( M )
т.е.         равна частной производной функции U(х, у, z) по х.
      дλ
Значит, частная производная функции по х характеризует скорость изменения
функции в положительном направлении оси ох.
Аналогичный вывод можно сделать в отношении других осей координат.

       Пример 14. Найти производную функции U = х2 + у2 + z2 в точке М0(0,1,1)
по направлению вектора λ = 2i − 2 j + k .

            Решение: По формуле (11) имеем:

дU ( M 0 ) дU ( M 0 )           дU ( M 0 )           дU ( M 0 )
          =           ⋅ cos α +            ⋅ cos β +            ⋅ cos γ .
   дλ        дх                   дy                    дz

Найдём направляющие косинусы вектора λ :

                (       )
 λ = 2 2 + − 2 2 + 1 = 3 , тогда cos α =
                                                         2
                                                         3
                                                                      2         1
                                                           , cos β = − , cos γ = .
                                                                      3         3

Вычислим значение частных производных в точке М0(0,1,1):

∂U                          ∂U                              ∂U
            = 2 х М = 0;              = 2у   М0
                                                  = 2;                = 2z M = 2 .
∂x     M0
                    0       ∂y   М0
                                                            ∂z   М0
                                                                            0




дU ( M 0 )      2  2        1       2          дU ( M 0 )   2
           = 0 ⋅ +  −  ⋅ 2 + ⋅ 2 = − . Получим            =− .
   дλ           3  3        3       3             дλ        3

Знак минус говорит о том, что в точке М0(0,1,1) функция U = х2 + у2 + z2
                                    2
убывает в направлении λ со скоростью .
                                    3


        2.5.5 Касательная плоскость и нормаль к поверхности


       Пусть поверхность задана уравнением F(x, y, z) = 0 и пусть М0(x0, y0, z0)
некоторая точка этой поверхности.



                                                                                     41

Страницы