Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Если точка M∈{M} и вектор λ↑↑ММ
0
, то разность f(M) – f(M
0
)
называется приращением функции U
= f(M) в точке M
0
в направлении
λ
и
обозначается
, а
(
0
MU
λ
∆
)
λ∆=MM
0
называется перемещением точки.
Определение: Производной функции U = f(M) в точке M
0
по
направлению
λ называется предел отношения приращения функции в точке M
0
в направлении
λ к величине перемещения
λ
∆
при стремлении последней к
нулю.
Обозначается эта производная
(
)
λλ
λ
λ
∆
∆
=
∂
∂
→∆
0
0
по
опр
lim
0
MU
U
M
.
Если функция U = U(M) дифференцируема в точке , то
()
000
, yxM
()
(
)
(
)
βα
coscos
000
⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
=
∂
∂
y
MU
x
MUMU
λ
,
где cos α, cos β – направляющие косинусы вектора
λ
.
Если функция U
= U(x, y, z) дифференцируема в точке , то
()
0000
,, zyxM
() ()
(
)
(
)
γβα
coscoscos
0000
⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
=
∂
∂
z
MU
y
MU
x
MUMU
λ
, (11)
где cos α, cos β, cos
γ
– направляющие косинусы направления
λ
.
Выясним физический смысл производной по направлению.
Очевидно, величина
λ∆
∆U
– это средняя скорость изменения функции в
точке M
0
в направлении λ, а
(
)
λ
∂
∂
0
MU
характеризует скорость изменения
функции U(x,
y, z) в точке M
0
в направлении
λ
.
Пример 13. Найти производную функции U = U(x, y, z) в точке
),,( zy
x
М
по направлению вектора i .
Решение: Здесь
i=λ . Найдём направляющие косинусы вектора i (1,0,0).
Очевидно, cos
α
= 1, cos
β
= 0, cos
γ
= 0, тогда
40
       Если точка M∈{M} и вектор М 0 М ↑↑ λ, то разность f(M) – f(M0)
называется приращением функции U = f(M) в точке M0 в направлении λ и
обозначается ∆ λU (M 0 ) , а M 0 M = ∆λ называется перемещением точки.

       Определение: Производной функции U = f(M) в точке M0 по
направлению λ называется предел отношения приращения функции в точке M0
в направлении λ к величине перемещения ∆λ при стремлении последней к
нулю.
       Обозначается эта производная

                             ∂U       по         ∆ λU (M 0 )
                                      = lim                  .
                             ∂λ   M 0 опр   ∆λ→0     ∆λ

       Если функция U = U(M) дифференцируема в точке M 0 ( x 0 , y 0 ) , то

                   ∂U (M 0 ) ∂U (M 0 )           ∂U (M 0 )
                            =          ⋅ cos α +           ⋅ cos β ,
                     ∂λ        ∂x                  ∂y

       где cos α, cos β – направляющие косинусы вектора λ.

       Если функция U = U(x, y, z) дифференцируема в точке M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , то

          ∂U (M 0 ) ∂U (M 0 )           ∂U (M 0 )           ∂U (M 0 )
                   =          ⋅ cos α +           ⋅ cos β +           ⋅ cos γ ,    (11)
             ∂λ       ∂x                  ∂y                  ∂z

       где cos α, cos β, cos γ – направляющие косинусы направления λ.

      Выясним физический смысл производной по направлению.
                              ∆U
      Очевидно, величина           – это средняя скорость изменения функции в
                               ∆λ
                                   ∂U (M 0 )
точке M0 в направлении λ, а                  характеризует скорость изменения
                                      ∂λ
функции U(x, y, z) в точке M0 в направлении λ.

         Пример 13. Найти производную функции U = U(x, y, z) в точке
М ( x, y, z ) по направлению вектора i .

      Решение: Здесь λ = i . Найдём направляющие косинусы вектора i (1,0,0).
Очевидно, cos α = 1, cos β = 0, cos γ = 0, тогда

                                                                                     40

Страницы