Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

y
t
U
t
U
y
t
t
U
y
t
t
U
y
U
2
21
2
2
1
1
⋅
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂
.
Пример 12. Найти полный дифференциал функции
xy
e
y
x
⋅=U .
Решение: Найдем частные производные этой функции. Обозначим
21
, txyt
y
x
== . Тогда xyt
y
x
tet
t
==⋅=
211
, где ,
2
U .
.
111
22
1
2
2
1
1
xyxyxyxy
tt
xee
y
ey
y
x
e
y
yet
y
e
x
t
t
U
x
t
t
U
x
U
+=⋅⋅+=⋅⋅+⋅=
∂
∂
⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂
Найдем
xyxy
tt
e
y
x
e
y
x
xet
y
x
e
y
t
t
U
y
t
t
U
y
U
2
2
1
2
2
2
1
1
22
+−=⋅+
−⋅=
∂
∂
⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂
.
Теперь запишем полный дифференциал функции:
dye
y
x
e
y
x
dxxee
y
dy
y
U
dx
x
U
Ud
xyxyxyxy
⋅
+−+⋅
+=⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
=
2
2
1
.
2.5.4 Производная по направлению
Рассмотрим функцию U = f(M), заданную на множестве {М}. Пусть
точка M
0
∈{M}, а вектор λ определяет некоторое направление на этом
множестве.
λ
M
0
M
Рисунок 5.
39
∂U ∂U ∂t1 ∂U ∂t 2 ∂U ∂U
   =    ⋅   +     ⋅   =    +      ⋅ 2y .
∂ y ∂ t1 ∂ y ∂ t 2 ∂ y ∂ t1 ∂ t 2

                                                                    x xy
       Пример 12. Найти полный дифференциал функции U =               ⋅e .
                                                                    y

         Решение: Найдем частные производные этой функции. Обозначим
x                                   t2         x
  = t1 , xy = t 2 . Тогда U = t1 ⋅ e , где t1 = , t 2 = xy .
y                                              y

∂U ∂U ∂t1 ∂U ∂t 2              1                 1      x            1
   =    ⋅   +     ⋅    = e t2 ⋅ + t1 ⋅ e t2 ⋅ y = e xy + ⋅ y ⋅ e xy = e xy + xe xy .
∂ x ∂ t1 ∂ x ∂ t 2 ∂ x         y                 y      y            y

       ∂U ∂U ∂t1 ∂U ∂t 2                    x                   x xy x 2 xy
Найдем    =    ⋅   +     ⋅    = e t2                   t2
                                         ⋅  − 2  + t1 e ⋅ x = − 2 e +   e .
       ∂ y ∂ t1 ∂ y ∂ t 2 ∂ y               y                  y      y

Теперь запишем полный дифференциал функции:

     ∂U        ∂U          1 xy  xy          x xy x 2 xy 
dU =    ⋅ dx +    ⋅ dy =  e + xe  ⋅ dx +  − 2 e +   e  ⋅ dy .
     ∂x        ∂y         y                  y       y    


     2.5.4 Производная по направлению


      Рассмотрим функцию U = f(M), заданную на множестве {М}. Пусть
точка M0∈{M}, а вектор λ определяет некоторое направление на этом
множестве.


                                                             M
                                        λ

                                                 M0

                                    Рисунок 5.




                                                                                   39

Страницы