Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 37 стр.

                                                         n  ∂U (M )            n
          + α 1 ⋅ ∆x1 + α 2 ⋅ ∆x 2 + ... + α n ⋅ ∆x n = ∑           ⋅ ∆x i + ∑ α i ⋅ ∆x i .    (7)
                                                        i =1 ∂ x i           i =1


       С л е д с т в и е 2: Функция, разрывная в точке М или не имеющая в этой
точке хотя бы одной частной производной не может быть дифференцируемой в
этой точке.

       Теорема 12 (достаточные условия дифференцируемости). Если
функция U = f (х1, х2, …, хn) имеет частные производные по каждому аргументу
в окрестности точки М(х1, х2, …, хn) и эти частные производные непрерывны в
этой точке, то эта функция дифференцируема в точке М.


     2.5.2 Полный дифференциал функции


      Полное приращение, дифференцируемой в точке М(х1, х2, …, хn)
функции, можно представить по формуле (7), т.е.

            ∂U (M )         ∂U (M )                ∂U (M )            n
       ∆U =         ⋅ ∆x1 +         ⋅ ∆x 2 + ... +         ⋅ ∆x n + ∑ α i ⋅ ∆x i .
             ∂ x1            ∂ x2                   ∂ xn            i =1


       Определение: Полным дифференциалом (или первым дифференциалом)
функции U = f (х1, х2, …, хn) в точке М называется главная, линейная
относительно      ∆x1 , ∆x 2 , ..., ∆x n , часть полного  приращения
дифференцируемой в точке М функции и обозначается dU(M).
       Из определения следует:

                              ∂U (M )         ∂U (M )                ∂U (M )
                 dU ( M ) =           ⋅ ∆x1 +         ⋅ ∆x 2 + ... +         ⋅ ∆x n .
                               ∂ x1            ∂ x2                   ∂ xn

      Дифференциалом независимой переменной является приращение этой
переменной, т.е. ∆x1 = dx1 , ∆x 2 = dx 2 , ..., ∆x n = dx n , поэтому полный
дифференциал функции принимает вид:

                        ∂U (M )          ∂U (M )                 ∂U (M )
           dU ( M ) =           ⋅ d x1 +         ⋅ d x 2 + ... +         ⋅ d xn .
                         ∂ x1             ∂ x2                    ∂ xn

                                                                                          xy
       Пример      10. Найти полный дифференциал функции                             u=          в
                                                                                           z
произвольной точке М.

       Решение: Найдем все частные производные функции в точке М:
                                                                                                37