Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 36 стр.

переменным            приращения          ∆х1 , ∆x 2 , ..., ∆x n 1, такие,           что      точка
М 1 ( x1 + ∆x1 , x 2 + ∆x 2 , ..., x n + ∆x n ) – внутренняя точка {M}.
          Найдём полное приращение функции в точке М:

                ∆U = f (х1 + ∆х 1, х2 + ∆х 2, …, хn + ∆х n) – f (х1, х2, …, хn).

       Определение: Функция U = f (х1, х2, …, хn) называется
дифференцируемой в точке М(х1, х2, …, хn), если её полное приращение в этой
точке можно представить в виде:

                                                     n
     ∆U = А1 ⋅ ∆х1 + А2 ⋅ ∆х 2 + ... + Аn ⋅ ∆х n + ∑ α i (∆х1 , ∆х 2 , ..., ∆х n ) ⋅ ∆x i ,     (6)
                                                    i =1


                                                     
                                                     ∆x1 → 0
                                                     
        где ∀ i = 1, n       Ai = const, α i → 0 при ∆x 2 → 0
                                                      Κ Κ ..........
                                                     ∆x n → 0

      Функцию, дифференцируемую в каждой внутренней точке области {M},
называют дифференцируемой в этой области.

        Теорема 10 (необходимое условие дифференцируемости). Если функция
U = f(M) дифференцируема в точке М, то она непрерывна в этой точке.

       Теорема 11. Если функция U = f (х1, х2, …, хn) дифференцируема в точке
                                                       ∂U (M )
М, то она имеет в этой точке все частные производные
                                                         ∂ xi
                                                               i = 1, n .        (       )
       Замечание – Обратное утверждение неверно, т.е. существование
частных производных не является достаточным условием дифференцируемости
функции в точке.

        С л е д с т в и е 1: Из теоремы 11 легко показать, что если функция
дифференцируема в точке М, то коэффициенты в формуле (6) равны
Ai =
     ∂u
     ∂ xi
            (        )
           i = 1, n и, значит, полное приращение дифференцируемой функции

можно записать в виде:

                ∂U (M )         ∂U (M )                ∂U (M )
       ∆U =             ⋅ ∆x1 +         ⋅ ∆x 2 + ... +         ⋅ ∆x n +
                 ∂ x1            ∂ x2                   ∂ xn



                                                                                                 36